مقدمة في -المخطوطات الرياضية- لكارل ماركس

"المخطوطات الرياضية" هي مجموعة المخطوطات (أكثر من 1000 ورقة) للملاحظات الرياضية التي دوّنها كارل ماركس طوال الأعوام 1870- 1883 ، على وجه التقريب، والتي حاول فيها استنباط أسس حساب التفاضل والتكامل اللانهائي من مبادئه الأولية. ولقد كان ماركس يصبو إلى تحرير ونشر كتاب خاص فيها يطبق فيه المنهج المادي الجدلي على تاريخ تطور الرياضيات، ولكن الموت منعه من تحقيق هذا الانجاز. توضح هذه المسودات كيف أن ماركس، بتطبيقه لمنهج "الأطروحة (thesis) ونقيض الأطروحة (antithesis) ومن ثم التوليف بينهما (synthesis) بحركة الرفع الجدلي، قد استطاع تحديد ثلاث مراحل تاريخية لتطور هذا الحقل الرياضي: حساب التفاضل "الصوفي" لنيوتن ولايبنتز ، وحساب التفاضل "العقلاني" لدالامبير ، وحساب التفاضل "الجبري المحض" للاغرانج .
وقد تولت عالمة الرياضيات والفيلسوفة والمؤرخة السوفييتية المتخصصة في تاريخ الرياضيات والمنطق الرياضي وفلسفة الرياضيات الحائزة على "وسام لينين" في العلوم: الدكتورة صوفيا ألكساندروفنا يانوفسكايا (31 كانون التاني 1896 - 24 تشرين الثاني 1966) ترتيب ونشر وتحرير الأعمال الرياضية لكارل ماركس لأول مرة باللغة الروسية في عام 1933، كما أشرفت بعدئذ على جمع وتحقيق وتبويب الملاحظات التي سجلها ماركس في أربع أطروحات مستقلة: حول مفهوم الدالة المشتقة ، وفي التفاضلية ، وفي تاريخ حساب التفاضل ، ونظرية تايلر، ونظرية ماكلورين، ونظرية لاغرانج في الدوال المشتقة ، إلى جانب العديد من الملاحظات والمسودات الإضافية والملاحق لهذه الأطروحات الأربع، والتي نشرت باسمها بعد وفاتها عام 1968.
وتُعنى هذه الأطروحات ببناء الأساس الصارم لحساب التفاضل والتكامل. ففي مفهوم الدالة المشتقة ، كان ماركس منزعجًا بشكل واضح من آثار غياب الصرامة العلمية في حساب التفاضل التكامل لنيوتن ولا يينتيز ولاغرانج وغيرهم، لذا نجده يصرح بالقول بأن: "الاعتقاد الراسخ لدى بعض علماء الرياضيات العقلانيين بأن dy و dx صغيران بشكل لا نهائي من الناحية الكمية، ويقتربان فقط من 0/0، إنما هو وهم.". هذا النص يوضح بشكل قاطع مدى توكيد ماركس على أهمية التمسك بمبدأ "الصرامة" العلمية في اخراج قواعد الرياضيات.
في حينها، لم يكن ماركس على علم بالتطورات الأحدث في هذا الحقل الرياضي، ومع ذلك، فقد توقع عمله بعض مناحي التطورات التي حصلت بعده في رياضيات القرن العشرين. في هذه الأعمال، حاول ماركس رسم أوجه التشابه بين نظرياته في تاريخ الاقتصاد وتطور حساب التفاضل والتكامل من خلال بناء حساب التفاضل والتكامل من حيث الرموز الرياضية التي يتم تغييرها بواسطة ثورة من شأنها أن تكشف عن معناها الحقيقي.
أدناه ترجمة لمقدمة هذه المخطوطات وللرسائل ذات العلاقة بين ماركس وانجلز، ولورقة عالم الرياضيات السوفيتي (إ، كولئمان) (E. Kol’man) [EK] بصددها. وقد ابقيت الموز الرياضية اللاتينية على حالها، ولست متأكداً من ان "النسخ واللصق" لها لن يتسبب في إثارة بعض الصعوبات في قراءتها بحكم اختلاف اتجاه الكتابة من اليمين الى اليسار في العربية، وخصوصا زحف محل النقطة (.).
النص الانجليزي الكامل لهذه المخطوطات متوفر على الرابط:
https://www-marxists-org.translate.goog/archive/marx/works/1881/mathematical-manu-script-s/ch24.html?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=ar&_x_tr_hl=ar&_x_tr_pto=sc
النص:
مخطوطات ماركس الرياضية 1881
ملاحظة الناشر
تاريخ الكتابة : آب 1881؛
المصدر : مخطوطات ماركس الرياضية، منشورات نيو بارك، 1983؛
النشر الأول : بالترجمة الروسية، في Pod znamenem marksizma ، (مجلة: تحت راية الماركسية) 1933.
تمت ترجمة الجزء الأكبر من هذا المجلد بالاستناد الى كتاب كارل ماركس: "Mathematicheskie Rokopsii" [المخطوطات الرياضية] الذي حررته الأستاذة إس. إيه. يانوفسكايا، موسكو 1968 (المشار إليه في هذا المجلد باسم يانوفسكايا، 1968). وقد احتوى هذا الكتاب على أول نشر لكتابات ماركس الرياضية حسب شكلها الأصلي، إلى جانب الترجمة الروسية لها. وكانت قد ظهرت الترجمة الروسية لأجزاء من هذه المخطوطات في عام 1933. وقد أدرجنا أول ترجمة إنجليزية للجزء الأول من الطبعة الروسية، والتي تضم المخطوطات المكتملة إلى حد ما التي تركها ماركس حول حساب التفاضل والتكامل، والمسودة السابقة لهذه المخطوطات. ولم نترجم الجزء الثاني من مجلد عام 1968، والذي يتألف من المقتطفات والتعليقات على الكتب الرياضية التي درسها ماركس. و [في 24 تشرين الأول، 1966] توفيت الأستاذة يانوفسكايا، التي عملت على هذه المخطوطات منذ عام 1930، قبل ظهور الكتاب مباشرة. وقد أدرجنا ترجمة لمقدمتها، إلى جانب ستة ملاحق، وملاحظات على الجزء الأول.
بالإضافة إلى ذلك، فإننا ندرج ما يلي:
أ. مقتطفات من رسالتين من إنجلز إلى ماركس ورسالة واحدة من ماركس إلى إنجلز، تناقش هذه الكتابات؛
ب. مراجعة لكتاب يانوفسكايا، 1968، المترجم من اللغة الروسية، بواسطة عالم الرياضيات السوفييتي إي. كولمان، الذي توفي في السويد عام 1979، والذي ارتبط اسمه أيضًا بهذه المخطوطات منذ نسخها الأول؛
ج. مقال بقلم يانوفسكايا وكولمان بعنوان: "هيجل والرياضيات"، نُشر عام 1931 في مجلة: "تحت راية الماركسية"؛
وقد تُرجم هذا المقال من النسخة التي نُشرت في المجلة الألمانية: Unter dem Banner des marxismus؛
د. مقال عن "هيجل وماركس وحساب التفاضل والتكامل" كتبه لهذا المجلد سيريل سميث.
تمت ترجمة المادة من يانوفسكايا 1968 بواسطة C. Aronson و M. Meo، واللذين ترجما ايضاً المراجعة التي كتبها E. Kol man.
تمت ترجمة الرسائل بين ماركس وإنجلز، والمقال الذي كتبه يانوفسكايا وكولمان، على يد آر. إيه. آرتشر.
مقدمة للطبعة الروسية لعام 1968
تاريخ الكتابة : آب، 1881؛
المصدر : مخطوطات ماركس الرياضية، منشورات نيو بارك، 1983؛
النشر الأول : بالترجمة الروسية، في Pod znamenem marksizma ، 1933.
في مقدمة الطبعة الثانية من كتابه "ضد دوهرينغ" ، كشف إنجلز أن من بين المخطوطات التي ورثها عن ماركس توجد بعض المخطوطات ذات المحتوى الرياضي، والتي أولى لها إنجلز أهمية كبيرة وكان ينوي نشرها فيما بعد. وتوجد نسخ مصورة من هذه المخطوطات (حوالي 1000 ورقة) محفوظة في أرشيف "معهد ماركس - لينين" التابع للجنة المركزية للحزب الشيوعي في الاتحاد السوفييتي. وفي عام 1933، بعد مضي خمسين عامًا على وفاة ماركس، نُشرت أجزاء من هذه المخطوطات، بما في ذلك تأملات ماركس حول أساسيات حساب التفاضل، والتي لخصها لإنجلز في عام 1881 في مخطوطتين مصحوبتين بمادة تحضيرية، بالترجمة الروسية، الأولى في مجلة " تحت لواء الماركسية"1933، (العدد 1، ص 15-73)، والثانية في مجموعة "الماركسية والعلم" 1933)، ص 5-61). ولكن حتى هذه الأجزاء من المخطوطات الرياضية لم يتم نشرها بلغاتها الأصلية حتى الآن.
في هذه الطبعة تم نشر جميع المخطوطات الرياضية لماركس والتي تحتوي على ملاحظاته الخاصة حول مفاهيم حساب التفاضل والتكامل أو غيرها من المسائل الرياضية بالكامل.
وتتميز مخطوطات ماركس الرياضية بالتنوع؛ فبعضها يمثل عمله الخاص في حساب التفاضل والتكامل وطبيعته وتاريخه، في حين يحتوي بعضها الآخر على مخططات وتعليقات على كتب الرياضيات التي استخدمها ماركس. وبناءً على ذلك، ينقسم هذا المجلد إلى قسمين. تظهر أعمال ماركس الأصلية في الجزء الأول منه، بينما نجد في الجزء الثاني مخططات توضيحية كاملة ومقاطع من المحتوى الرياضي. * نُشرت كتابات ماركس الخاصة وملاحظاته الموجودة في المسودات باللغة الأصلية وبالترجمة الروسية.
ورغم أن أعمال ماركس منفصلة بطبيعة الحال عن الخطوط العريضة والمقاطع الطويلة التي تقتبس من أعمال الآخرين، فإن الفهم الكامل لفكر ماركس يتطلب الاطلاع المتكرر على دراساته لهذه الكتب. وعلى هذا، فإن العرض الحقيقي لمحتوى كتابات ماركس الرياضية لا يمكن أن يكتمل إلا من خلال الكتاب بأكمله.
لقد طور ماركس اهتمامه بالرياضيات فيما يتصل بعمله في كتاب رأس المال. ففي رسالته إلى إنجلز بتاريخ 11 يناير 1858، كتب ماركس:
"أنا متأخر حد اللعنة بسبب الأخطاء الشديدة لعلم الحساب في إخراج المبادئ الاقتصادية، بحيث أنني، بسبب اليأس منها، أعتزم إتقان علم الجبر فوراً. يبقى الحساب غريباً عني . و لكنني منطلق بمسيرتي بسرعة على طريق الجبر" .
" (كارل ماركس إلى ف. إنجلز، الأعمال الكاملة ، المجلد 29، برلين، 1963، ص 256). "
إن آثار دراسات ماركس الأولى في الرياضيات متناثرة في فقرات من دفاتر ملاحظاته الأولى عن الاقتصاد السياسي. وقد ظهرت بعض الشروحات الجبرية بالفعل في دفاتر ملاحظاته، وخاصة تلك التي يرجع تاريخها إلى عام 1846. ولكن هذا لا يعني أنه لم يكن من الممكن أن تكون قد كتبت على أوراق دفاتر ملاحظات فضفاضة في وقت لاحق كثيراً. ويمكن العثور على بعض الرسومات الأولية للهندسة الأولية والعديد من الشروحات الجبرية حول المتواليات واللوغاريتمات في دفاتر ملاحظات تحتوي على مواد تحضيرية لكتاب: نقد الاقتصاد السياسي، والتي يرجع تاريخها إلى الفترة من إبريل/نيسان إلى يونيو/حزيران 1858.
ولكن في هذه الفترة لم تكن أفكار ماركس الرياضية تتقدم إلا بشكل متقطع، خصوصاً عندما لم يكن مشغولاً بأي شيء آخر. ففي الثالث والعشرين من نوفمبر/تشرين الثاني 1860 كتب ماركس إلى إنجلز: "لقد باتت الكتابة بالنسبة لي تكاد تكون مستحيلة. والرياضيات هي الموضوع الوحيد الذي ما زلت أتمتع فيه بـ"هدوء البال" الضروري". (ماركس-إنجلز، الأعمال الكاملة ، المجلد 30، برلين، 1964، ص 113). ورغم هذا، فقد واصل ماركس تدوين أفكاره الرياضية على نحو منتظم؛ وفي السادس من يوليو/تموز 1863، كتب إلى إنجلز:
"في وقت فراغي أدرس حساب التفاضل والتكامل. وبالمناسبة: لدي فائض من الكتب في هذا الحقل، وبوسعي أن أرسل لك كتابًا منها إذا كنت ترغب في دراسة هذا الموضوع الذي أعتبره ضروريًا ألى حدما لدراساتك العسكرية. بالمناسبة، إنه الجزء الأسهل كثيرًا من الرياضيات (يتضمن تقنية مجردة) من الأجزاء الأعلى من الجبر، على سبيل المثال. خارج معرفة الجبر المعتاد وعلم المثلثات، لا يوجد شيء آخر ضروري للدراسة، باستثناء الإلمام العام بالمقاطع المخروطية." المصدر نفسه ، ص 362.
وفي الملحق الخاص برسالة غير محفوظة تعود إلى نهاية عام 1865 أو بداية عام 1866، شرح ماركس لإنجلز أساسيات حساب التفاضل في مثال لمشكلة المماس للقطع المكافئ.
ولكن ماركس كان لا يزال مهتماً في المقام الأول بأساسيات الرياضيات في علاقتها بالاقتصاد السياسي. ففي عام 1869، وفيما يتصل بدراساته لمسائل تداول رأس المال ودور الأوراق النقدية في الحسابات بين الحكومات، اطلع ماركس على الدورة الطويلة من الحساب التجاري التي قام بها "فيلر" و"أودرمان"، والتي شرحها بالتفصيل (راجع المخطوطتين 2388 و2400). وكان من سمات تقنيات المسح التي استخدمها ماركس أنه عندما كان يواجه أي مسألة لم يكن يشعر بأنه قادر على إتقانها، لم يكن يتركها إلا بعد اتقانه لها تماماً، حتى أسسها. وفي كل مرة استخدم فيها فيلر وأودرمان تقنية رياضية ما، كان ماركس يرى أنه من الضروري أن يحفظها في ذاكرته، حتى ولو كانت معروفة له. وفي دراساته للحساب التجاري – بصدد هذه الدراسات، فضلاً عن دراسات لاحقة، راجع المخطوطات 3881، 3888، 3981 – نجد له إضافات ذات محتوى رياضي بحت بتقدم فيها ماركس إلى أبعد من ذلك في مجالات الرياضيات العليا.
في سبعينيات القرن التاسع عشر، وبدءًا من عام 1878، اكتسبت أفكار ماركس في الرياضيات طابعًا أكثر منهجية. وفيما يتعلق بهذه الفترة، يقول إنجلز في مقدمة الطبعة الثانية من كتاب رأس المال :
"بعد عام 1870، جاءت فترة توقف أخرى ناجمة في الأساس من العلل المؤلمة التي أصيب بها ماركس. فبحكم العادة، كان يملأ وقته بالدراسة: دراسة علم الزراعة، والعلاقات العقارية في أميركا وروسيا على وجه الخصوص، والأسواق النقدية والبنوك، وأخيراً العلوم الطبيعية: الجيولوجيا وعلم وظائف الأعضاء، وخاصة أعماله الرياضية، والتي تشكل جميعها المحتويات للعديد من الدفاتر التي كتبها في تلك الفترة." (ماركس-إنجلز، الأعمال الكاملة، المجلد 24، برلين 1963، ص 11)..
وفي الوقت نفسه ظلت مشاكل تطبيق الرياضيات على الاقتصاد السياسي تثير اهتمام ماركس. ففي رسالة إلى إنجلز في الحادي والثلاثين من مايو/أيار 1873 كتب ماركس:
"لقد أرسلت إلى "مور" للتو تاريخًا كان لابد من تهريبه إلى هناك. ولكنه يعتقد أن المسألة غير قابلة للحل، أو على الأقل أنها غير قابلة للحل مؤقتًا، نظرًا للعديد من الأجزاء التي لا تزال فيها حقائق لم يتم اكتشافها فيما يتعلق بهذه المسألة. والمسألة هي كما يلي: أنت تعرف تلك الجداول التي تمثل فيها الأسعار، المحسوبة بنسب مئوية وما إلى ذلك، إلخ، في تطورها خلال عام وما إلى ذلك، مما يوضح الزيادات والانخفاضات بخطوط متعرجة. لقد حاولت مرارًا وتكرارًا، لتحليل الأزمات، حساب هذه "الصعود والهبوط" كمنحنيات خيالية، وفكرت (وحتى الآن ما زلت أعتقد أن هذا ممكنًا غي حال وجود مادة تجريبية كافية) في استنتاج قانون مهم للأزمات من هذا رياضيًا. لكن "مور" يرى، كما قلت بالفعل، أن هذه المشكلة هي غير عملية إلى حد ما، وقد قررت التخلي عنها في الوقت الحالي." (ماركس-إنجلز، الأعمال الكاملة، المجلد 33، برلين، 1966، ص 82).
ومن الواضح أن ماركس كان يقصد من هذا أن يتوصل إلى إمكانية تطبيق الرياضيات على الاقتصاد السياسي. وإذا ما وضعنا النص الكامل لكل مخطوطات ماركس الرياضية في الجزء الثاني من كتابنا هذا، فإننا لا نستطيع أن نجيب على السؤال حول ما الذي دفع ماركس إلى الانتقال إلى حساب التفاضل والتكامل من دراسة الجبر والحساب التجاري. والواقع أن مخطوطات ماركس الرياضية تبدأ على وجه التحديد في هذه الفترة التي لم يكن ماركس مهتماً فيها بالرياضيات الأولية إلا فيما يتصل بالمشكلات الناشئة عن دراسته لحساب التفاضل والتكامل. أما دراساته في علم المثلثات والمقاطع المخروطية فتقع بالضبط في هذا السياق، وهو السياق الذي اقترحه على إنجلز باعتباره أمراً لا غنى عنه.
ولكن في حساب التفاضل والتكامل برزات هناك بعض الصعوبات، وخاصة في أساسياته ـ الأساس المنهجي الذي بُني عليه. وقد ألقى إنجلز الكثير من الضوء على هذه الحالة في كتابه " ضد دوهرينغ" .:
"مع إدخال المقادير المتغيرة وتوسيع نطاق تغيرها إلى ما لا نهاية له من الصغر والكبر، سقطت الرياضيات - التي كانت في الجوانب الأخرى أخلاقية بحتة - من نعمائها؛ لقد أكلت من شجرة المعرفة، التي فتحت لها مسيرة من الإنجازات الهائلة، ولكنها فتحت لها في الوقت نفسه الطريق للخطأ. لقد اختفت إلى الأبد الحالة العذراء للصحة المطلقة واليقين الذي لا يقبل الجدل لكل شيء رياضي؛ فدخلت الرياضيات عالم المُختَلف فيه، حيث بلغنا النقطة التي يتفاضل فيها معظم الرياضيين ويتكاملون ليس فقط لأنهم يفهمون ما يفعلونه، وإنما بفضل الإيمان الخالص [بصحة الطرق التي يستخدمونها في حساب التفاضل والتكامل]، لأنه كان حتى الآن هو الذي خرج محقاً على الدوام" . (ضد دوهرنغ، ص 107)
لم يكن ماركس راضياً عن هذا الوضع، بطبيعة الحال. وإذا أردنا أن نستخدم كلماته الخاصة، فيمكننا أن نقول إنه كان من المهم بالنسبة له "هنا، كما في كل مكان" أن "يُزال حجاب الغموض في العلم". (انظر ص 109). وقد حاز هذا الأمر أهمية أكبر في ضوء أن عملية الانتقال من الرياضيات الأولية إلى رياضيات الكميات المتغيرة لابد وأن تكون ذات طابع ديالكتي في الأساس، وكان ماركس وإنجلز يعتبران نفسيهما ملزمين بإظهار كيفية التوفيق بين الديالكتيك المادي ليس فقط مع العلوم الاجتماعية، بل وأيضاً مع العلوم الطبيعية والرياضيات. ولا يمكن إنجاز فحص الرياضيات للكميات المتغيرة بالوسائل الديالكتيكية إلا من خلال التحقيق الكامل فيما يشكل "حجاباً محاطاً بالفعل في عصرنا بكميات تستخدم لحساب ما لا نهاية له من الصغر ـ التفاضلات والكميات اللانهائية من الرتب المختلفة" (ماركس-إنجلز، الأعمال الكاملة ، المجلد 20، برلين، 1962، ص 30). لقد وضع ماركس أمام نفسه هذه المشكلة بالضبط، وهي توضيح ديالكتيك الحساب الرمزي العاملة على قيم التفاضل.
كان ماركس يفكر في الرياضيات بشكل مستقل. وكان الشخص الوحيد الذي لجأ إليه بهذا الصدد هو صديقه "صمويل مور"، الذي كان فهمه للرياضيات محدوداً في بعض الأحيان. ولم يكن "مور" قادراً على تقديم أي مساعدة جوهرية لماركس. فضلاً عن ذلك، ومثلما تمكن معرفته في الملاحظات التي أدلى بها "مور" بشأن مخطوطات عام 1881 (التي أرسلها ماركس إلى إنجلز) والتي تحتوي على أفكار ماركس التفسيرية حول اشتقاق ومعنى حساب التفاضل الرمزي، فإن "مور" ببساطة لم يفهم هذه الأفكار. (راجع رسالة ماركس إلى إنجلز، هذا المجلد ص 30).
لقد درس ماركس الكتب المنهجية في حساب التفاضل والتكامل؛ فاستعان بالكتب التي كانت تستخدم في الدورات الدراسية بجامعة كامبريدج، حيث كان نيوتن يشغل في القرن السابع عشر منصب أستاذ الرياضيات العليا، والتي احتفظ الإنجليز بتقاليدها حتى أيام ماركس. وفي الواقع، فإن صراعاً حاداً قد دار في عشرينيات وثلاثينيات القرن التاسع عشر بين العلماء الإنجليز الشباب، الذين اجتمعوا في إطار "الجمعية التحليلية" من علماء الرياضيات، وبين التقاليد الراسخة البالية المعارضة، والتي تحولت إلى عقيدة "دينية" لا يمكن المساس بها، والتي مثلها نيوتن. وقد طبق نيوتن الأساليب التركيبية التي استخدمها في كتابه "المبادئ" مع اشتراط حل كل مسالة من البداية دون تحويلها إلى مسالة أكثر عمومية يمكن حلها بعد ذلك باستخدام جهاز حساب التفاضل والتكامل.
في هذا الصدد، فإن الحقائق واضحة بما فيه الكفاية. بدأ ماركس بدراسة حساب التفاضل مع عمل الديراني الفرنسي "ساوري" الموسوم: " دورات كاملة في الرياضيات" (1778)، المستند إلى أساليب لايبنتز المدرجة في تدوينه. ثم انتقل بعد ذلك إلى كتاب: تحليل المعادلات ذات الأرقام النهائية اللانهائية لنيوتن (راجع المخطوطة 2763). ولقد انبهر ماركس باستخدام ساوري لأساليب لايبنتز الخوارزمية للتفاضل لدرجة أنه أرسل شرحًا لها (مع تطبيقه لها على مشكلة المماس للقطع المكافئ) في ملحق خاص بإحدى رسائله إلى إنجلز.
ولكن ماركس لم يقتصر على كتاب ساوري. فالنص الرياضي التالي الذي لجأ إليه كان الترجمة الإنجليزية لكتاب فرنسي حديث يعود لعام (1827) بعنوان: عناصر الحساب التفاضلي والحساب المتكامل لـ "جيه إل بوشارلا" . وقد كُتب هذا الكتاب بروح انتقائية، حيث جمع أفكار "دالمبير" و"لاغرانج". وقد طُبع ثماني طبعات في فرنسا وحدها، كما تُرجم إلى لغات أجنبية (بما في ذلك الروسية)؛ ولكن هذا الكتاب لم يرض ماركس، فاتجه بعد ذلك إلى سلسلة من الكتب المتخصصة وكتب الدورات الدراسية. وإلى جانب الأعمال الكلاسيكية لأويلر وماكلورين (اللذين عملا على نشر اعمال نيوتن)، كانت هناك الكتب الجامعية التي ألفها لاكروا، وهيند، وهيمنج، وغيرهم. ولقد وضع ماركس مخططات وملاحظات متفرقة من كل هذه الكتب.
في هذه المجلدات، اهتم ماركس في المقام الأول بوجهة نظر لاغرانج، الذي حاول التعامل مع الصعوبات المميزة لحساب التفاضل والتكامل وسبل تحويل حساب التفاضل والتكامل إلى شكل "جبري"، أي دون البدء من المفاهيم النيوتنية الغامضة للغاية مثل "اللانهائي الصغير" و"الحد". ومع ذلك، أقنعت معرفته المفصلة لأفكار لاغرانج ماركس بأن هذه الأساليب لحل المسائل المرتبطة بالجهاز الرمزي لحساب التفاضل والتكامل غير كافية. ثم بدأ ماركس في وضع أساليبه الخاصة لتفسير طبيعة حساب التفاضل والتكامل.
ولعل ترتيب كتابات ماركس الرياضية على النحو الذي تم في النصف الثاني من المجلد يسمح بتوضيح الطريقة التي توصل بها ماركس إلى هذه الأساليب. فنرى، على سبيل المثال، بدءاً من محاولة تصحيح وجهة نظر لاغرانج، كيف أن ماركس قد تحول مرة أخرى إلى الجبر بفهم كامل للجذور الجبرية لحساب التفاضل. ومن الطبيعي أن يكون اهتمامه الأساسي هنا منصباً على نظرية الجذور المتعددة للمعادلة الجبرية، والتي كان اكتشافها مرتبطاً ارتباطاً وثيقاً بالتفاضلات المتعاقبة للمعادلات. وقد عالج ماركس هذه المسألة بشكل خاص في سلسلة المخطوطات 3932 و3933، والتي تظهر هنا تحت عنواني "الجبر 1" و"الجبر 2". كما أولى ماركس اهتماماً خاصاً للنظريتين المهمّتين لتايلر وماكلورين. وهكذا وصلت مخطوطاته 3933، 4000، و4001، والتي من المستحيل اعتبارها مجرد خطوط عريضة، في ضوء كون نصوصها قد أعطيت بالكامل.
وبصورة عامة، بدأ ماركس في استخدام تدوينه الخاص بشكل متزايد من الخطوط العريضة. ففي عدد من الأماكن، استخدم تدوينًا خاصًا لمفهوم الدالة، وفي أماكن أخرى استخدم dy/dx لـ 0/0. وقد تم العثور على هذه الرموز مثبتة في عدد من المخطوطات الأخرى (راجع 2763، 3888، 3932، 4302).
لقد اقتنع ماركس بأن الطريقة الجبرية الصرفة التي اقترحها لاغرانج لم تحل الصعوبات التي واجهتها أسس حساب التفاضل، وكان قد توصل بالفعل إلى أفكاره الخاصة حول طبيعة وأساليب حساب التفاضل، فبدأ مرة أخرى في جمع المواد النصية حول الطرق المختلفة للتفاضل (راجع المخطوطتين 4038 و4040). ولم يبد ماركس وجهة نظره إلا بعد قراءة الشروحات التي اقترحت (بالنسبة لفئات معينة من الدوال) طرقاً "جبرية" للتفاضل بعد بناء مخططات للأفكار الأساسية. وقد تم عرض هذه الأفكار هنا في المخطوطات والنسخ المختلفة المنشورة في الجزء الأول من هذا المجلد.
والآن ننتقل إلى محتويات هذه المخطوطات.
في سبعينيات القرن التاسع عشر - وهو التاريخ الذي تكوّنت فيه الغالبية العظمى من أعمال ماركس الرياضية والتحليل الكلاسيكي المعاصر والنظريات المميزة للأعداد الحقيقية والحدود في القارة الأوروبية (خاصة في أعمال "فايرستراس" و"ديديكنج" و"كانتور" - لم تكن المؤلفات الرياضية الأكثر دقة معروفة في الجامعات الإنجليزية في ذلك الوقت. وهو ما جعل عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير "هاردي" - في كتابه: " دورة الرياضيات البحتة" ، الذي كتبه في وقت لاحق بشكل ملحوظ (أي عام 1917)- يصرح بالقول: "لقد كتبت [هذا الكتاب] عندما أهملت التحليل في كامبريدج، وبتأكيد وحماس يبدو سخيفًا إلى حد ما الآن. وإذا كنت سأعيد كتابته الآن، فلن أكتبه (باستخدام تشبيه للبروفيسور "ليتل وود") مثل: "المبشر الذي يتحدث إلى آكلي لحوم البشر"،" (مقدمة طبعة عام 1937). كان على هاردي أن يشير كإنجاز خاص إلى حقيقة أنه في الدراسات التحليلية "حتى في إنجلترا الآن [أي في عام 1937] لا يوجد نقص".
ومن غير المستغرب إذن أن يكون ماركس قد انفصل في مخطوطاته الرياضية عن المشاكل الأكثر معاصرة في التحليل الرياضي والتي نشأت في ذلك الوقت في القارة. ومع ذلك، فإن أفكاره حول طبيعة حساب التفاضل الرمزي لا تزال مثيرة للاهتمام حتى الآن.
يتميز حساب التفاضل والتكامل برموزه ومصطلحاته الخاصة، مثل مفاهيم "التفاضل" و"الصغر اللانهائي" من درجات مختلفة، الرموز مثل dx، dy، d²y، d³y ... dy/dx³، d²y/dx²، d³y/dx³ وغيرها. وفي منتصف القرن الماضي، ربطت العديد من الكتب التعليمية التي استخدمها ماركس هذه المفاهيم والرموز بأساليب خاصة لبناء كميات مختلفة عن الأعداد والدوال الرياضية المعتادة. والواقع فأن التحليل الرياضي كان مضطراً إلى التعامل مع هذه الكميات الخاصة. ولكن هذا ليس صحيحاً في الوقت الحاضر: حيث لا توجد رموز خاصة في التحليل المعاصر؛ ومع ذلك فقد تم الحفاظ على الرموز والمصطلحات، بل ويبدو أنها مناسبة تماماً. كيف؟ كيف يمكن أن يحدث هذا، إذا كانت المفاهيم المقابلة لا معنى لها؟
تقدم المخطوطات الرياضية لكارل ماركس أفضل إجابة على هذا السؤال. في الواقع، فإن مثل هذه الإجابة تسمح بفهم جوهر كل حساب رمزي، والذي تم بناء النظرية العامة له مؤخرًا في المنطق الرياضي الحديث.
إن جوهر المسألة هو الدور العملي الذي تلعبه الرموز في حساب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال، إذا كان من المقرر استخدام طريقة حساب معينة بشكل متكرر لحل مجموعة من المسائل، فإن الرمز الخاص الذي يتم اختياره بشكل مناسب لهذه الطريقة يشير بإيجاز إلى توليدها، أو كما يسميها ماركس إلى، "استراتيجية العمل". هذا الرمز هو الذي أصبح يرمز إلى العملية نفسها، على النقيض من التسمية الرمزية التي أدخلها ماركس للعملية، والتي أطلق عليها "الحقيقية".
ولكن لماذا إذن نلجأ إلى استخدام رمز جديد مختار على نحو ملائم لهذا الغرض؟ إن جواب ماركس يتلخص في أن هذا يعطينا الفرصة ليس لتنفيذ العملية برمتها من جديد في كل مرة، بل إننا نستغل حقيقة تنفيذنا لها في حالات عديدة من قبل لتقليص الإجراء في الحالات الأكثر تعقيداً إلى إجراء الحالات الأكثر بساطة. ولتحقيق، هذا فمن الضروري فقط، بعد أن ندرك جيداً قواعد الطريقة الخاصة، أن نمثل عدة قواعد عامة للعمل برموز جديدة مختارة لإتمام هذا التقليص. وبهذه الخطوة نحصل على حساب يعمل بالرموز الجديدة على "أرضيته الخاصة"، حسبما أسماه ماركس. ويوضح ماركس بشكل كامل، من خلال جدلية "الطريقة المعكوسة"، هذا الانتقال إلى الحساب الرمزي. ومن ناحية أخرى، تسمح لنا قواعد الحساب بعدم الانتقال من العملية "الحقيقية" إلى العملية الرمزية، بل البحث عن العملية "الحقيقية" المقابلة للرمز، وتحويل الرمز إلى عامل ـ "استراتيجية العمل" المذكورة أعلاه.
لقد فعل ماركس كل هذا في كتابيه الأساسيين اللذين كتبهما سنة 1881 وأرسلهما إلى إنجلز: "حول مفهوم الدالة المشتقة" (انظر ص 3) و"حول التفاضل" (ص 15) . ففي الكتاب الأول يدرس ماركس الطريقة "الحقيقية" لإيجاد الدوال المشتقة والتفاضلات لعدة أنواع من الدوال، ويقدم الرموز المناسبة لهذه الطريقة (التي يسميها: التفاضل "الجبري"). وفي الكتاب الثاني، يحصل ماركس على "الطريقة المعكوسة" وينتقل إلى "الأساس الخاص" لحساب التفاضل، مستخدماً لهذا الغرض أولاً وقبل كل شيء نظرية المشتق لمنتج تسمح بالتعبير عن مشتق منتج كمجموع لمشتقات عوامله. وباستخدام كلماته الخاصة، "يصبح معامل التفاضل الرمزي نقطة انطلاق مستقلة يتم أولاً إيجاد معادلها الحقيقي... وعلى هذا، يظهر حساب التفاضل كنوع خاص من حساب التفاضل الذي يعمل بالفعل بشكل مستقل على أساسه الخاص" ( بودن). إن نقاط انطلاقه du/dx، dz/dx ، تنتمي إليه وحده وهي كميات رياضية مميزة له." (ص 20-21). ولهذا السبب "تتحول فجأة إلى رموز تشغيلية (رمز عملياتي) ، إلى رموز للعملية التي يجب تنفيذها... لإيجاد "مشتقاتها". وبعد أن نشأت في الأصل كتعبير رمزي عن "المشتق" وبالتالي انتهت بالفعل، يلعب معامل التفاضل الرمزي الآن دور الرمز لعملية التفاضل التي لم تكتمل بعد." (ص 20-21).)
إن تعاليم ماركس لم تتضمن بعد التعريفات الدقيقة للمفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي التي تميز الرياضيات المعاصرة. ومن هنا فإن محتوى مخطوطاته يبدو للوهلة الأولى عتيقاً، ولا يرقى إلى مستوى متطلبات لاغرانج، على سبيل المثال، في نهاية القرن الثامن عشر. لكن الواقع هو أن المبدأ الأساسي الذي يميز مخطوطات ماركس له أهميته الجوهرية حتى في يومنا هذا. لم يكن ماركس على دراية بالمفاهيم التعريفية الدقيقة المعاصرة للعدد الحقيقي والحدود والاستمرارية. ولكن من الواضح أنه لم يكن ليرضى بهذه التعريفات، حتى لو كان على علم بها. والحقيقة أن ماركس يستخدم الطريقة "الحقيقية" للبحث عن دالة المشتقة، أي الخوارزمية، أولاً للإجابة على السؤال عما إذا كانت هناك مشتقة لدالة معينة، وثانياً للعثور عليها، إذا كانت موجودة. وكما هو معروف، فإن مفهوم الحد ليس مفهوماً خوارزمياً، وبالتالي فإن مثل هذه المسائل لا يمكن حلها إلا بالنسبة لفئات معينة من الدوال. إن فئة من الدوال، فئة الدوال الجبرية، أي الدوال المكونة من متغيرات مرفوعة إلى أي قوة، يمثلها ماركس باعتبارها موضوعاً للتفاضل "الجبري". والواقع أن ماركس لا يتعامل إلا مع هذا النوع من الدوال. وفي الوقت الحاضر، فقد اتسع نطاق فئة الدوال التي يمكن من خلالها الإجابة على السؤالين المطروحين أعلاه بشكل كبير، وبات من الممكن إجراء العمليات على كل الدوال التي تلبي المعايير المعاصرة للدقة والصرامة. ومن وجهة النظر الماركسية، فإن من الضروري إذن أن ننظر إلى تحويلات الحدود في ضوء عملها الفعال، أو بعبارة أخرى، أن يتم بناء التحليل الرياضي على أساس نظرية الخوارزميات، التي وصفناها هنا.
نحن على دراية تامة بتصريح إنجلز في كتابه "جدليات الطبيعة" بأن: "تمثلت نقطة التحول في الرياضيات بإدخال ديكارت للكميات المتغيرة. وبفضل هذه الحركة، دخلت الرياضيات ومعها الجدلية وبفضل هذا سرعان ما أصبح حساب التفاضل والتكامل ضروريًا ، وقد نشأ هذان الحسابان في وقت واحد، وقد اكتملا عمومًا وبشكل عام ولم يخترعهما نيوتن ولايبنتز" (جدليات الطبيعةـ ص 258).
ولكن ما هي هذه "الكمية المتغيرة"؟ وما هو "المتغير" في الرياضيات بوجه عام؟ يقول الفيلسوف الإنجليزي البارز برتراند راسل في هذا الصدد: "إن هذا المفهوم، بطبيعة الحال، هو أحد أصعب المفاهيم التي يمكن فهمها". ويحصي عالم الرياضيات كارل مينجر ستة معاني مختلفة تماماً لهذا المفهوم. ولتوضيح مفهوم المتغيرات ـ أو بعبارة أخرى، مفهوم الدوال ـ ومفهوم المتغيرات في الرياضيات بوجه عام، تمثل المخطوطات الرياضية لماركس الآن موضوعات ذات أهمية أساسية. لقد طرح ماركس على نفسه مباشرة مسألة المعاني المختلفة لمفهومي الدالة: الدوال "في x" والدوال "في x" ـ ، وركز بشكل خاص على كيفية تمثيل العملية الرياضية لتغير المتغيرات، في ما يتألف منه هذا التغير. وقد أولى ماركس أهمية خاصة لمسألة وسائل تمثيل تغير المتغيرات، إلى الحد الذي يجعلنا نتحدث بشكل مميز عن الطريقة "الجبرية" للتفاضل، التي قدمها.
والحقيقة هي أن ماركس قد اعترض بشدة على تمثيل أي تغيير في قيمة المتغير على أنه زيادة (أو نقصان) في القيم المعدة مسبقًا للزيادة (القيمة المطلقة). يبدو أن المثالية الكافية للتغير الحقيقي لقيمة بعض الكمية أو غيرها، هي التأكيد على أنه يمكننا التأكد بدقة من جميع القيم التي تتلقاها هذه الكمية في سياق التغيير. ونظرًا لأنه في الواقع لا يمكن العثور على جميع هذه القيم إلا بشكل تقريبي، فإن الافتراضات التي تستند إليها حساب التفاضل يجب أن تكون بحيث أن المرء لا يحتاج إلى معلومات حول إجمالي قيم أي متغير من هذا القبيل للتعبير الكامل عن دالة المشتقة f (x) من f(x) المعطاة ، بل يكفي أن يكون لدينا التعبير f(x) . لذا، فإن المطلوب هو فقط معرفة أن قيمة المتغير x تتغير فعليًا بطريقة تجعل في جوار مختار (مهما كان صغيرًا) لكل قيمة من قيم المتغير x (ضمن النطاق المعطى لقيمته) توجد قيمة x 1 مختلفة عن x، ولكن ليس أكثر من ذلك. "لذلك فإن x 1 تبقى غير محددة تمامًا مثل x " (ص 88).
من المنطقي من هذا أنه عندما يتم تغييرx إلى x 1 ، وبالتالي توليد الفرق x 1 - x ، المسمى بـ Δx ، فإن x 1 الناتج يصبح مساويًا لـ x + Δx .أكد ماركس في هذه المرحلة أن هذا يحدث فقط نتيجة لتغيير القيمة x إلى القيمة x 1 ، وهو غير سابق لهذا التغيير، وأن تمثيل هذا الـ x 1 - كما يُعرف بالتعبير الثابت x + Δx - إنما يحمل معه افتراضًا مشوهًا حول تمثيل الحركة (وكل أنواع التغيير بشكل عام مشوه). لأنه في هذه الحالة هنا، "على الرغم من أن Δx في x + Δx هي غير محدده من حيث الكمية مثل المتغير غير المحدد x نفسه؛ يتم تحديد Δx بشكل منفصل عن x ، وهي كمية مميزة، مثل ثمرة بطن الأم، التي تحمل بها" (ص 87).
وفيما يتصل بهذا، يبدأ ماركس الآن في تحديد الدالة المشتقة f (x) من الدالة f(x) بتغيير x إلى x 1 . ونتيجة لهذا، تتغير f(x) إلى f(x 1 ) ، وينشأ الفرقان x 1 - x و f(x 1 ) - f(x) ، والفرق الأول يختلف بوضوح عن الصفر طالما أن x 1 ≠ x .
"هنا، يمكن تمييز x المتزايدة باعتبارها x 1 ، عن نفسها، قبل أن تنمو، أي عن x ، ولكن x 1 لا تظهر كـ x متزايدة بمقدار Δx ، وبالتالي فإن x 1 تبقى غير محددة تمامًا مثل x " (ص 88).
إن اللغز الحقيقي في حساب التفاضل والتكامل، وفقا لماركس، يتلخص في أنه من أجل تقييم الدالة المشتقة عند النقطة x (التي يوجد عندها المشتق)، فإنه ليس من الضروري فقط الذهاب إلى جوار النقطة، إلى النقطة x 1 المختلفة عن x، وتشكيل نسبة الاختلافات f(x 1 ) - f(x) و x 1 - x ، أي التعبير (f(x 1 ) - f(x))/(x 1 - x) ، ولكن أيضا العودة مرة أخرى إلى النقطة x ؛ والعودة هذه لا تتم إلا بطريق ملتو، مع ميزات خاصة تتعلق بالتقييم الملموس للدالة f(x )، لأن مجرد وضع x 1 = x في التعبير:
(f(x 1 ) - f(x))/(x 1 - x)
يحولها إلى:
(f(x) - f(x))/(x - x) ،
أي إلى 0/0، أو الى عبارة لا معنى لها.
هذه الخاصية في تقييم المشتقة، والتي يتكون فيها الفرق غير الصفري x 1 - x ، والإزالة الجدلية اللاحقة - بعد بناء النسبة (f(x 1 ) - f(x))/(x 1 - x) - لهذا الفرق، لا تزال محفوظة في تقييم المشتقة الحالي حيث تتم إزالة الفرق x 1 - x بمساعدة الانتقال الحدي من x 1 إلى x .
في عمله: "ملحق مخطوطة "حول تاريخ حساب التفاضل والتكامل"، تحليل طريقة دلامبير"، تحدث ماركس أيضًا عن "المشتق" بشكل أساسي باعتباره حد قيمة النسبة (f(x 1 ) - f(x))/(x 1 - x) ، على الرغم من أنه أشار إليها بمصطلحات أخرى. في الواقع، فإن الارتباك المحيط بمصطلحي "الحد" و"القيمة الحدية"، والذي لاحظه ماركس بالقول، "أن مفهوم القيمة عند الحد يُساء فهمه بسهولة ويُساء فهمه باستمرار"، قد دفع به إلى استبدال مصطلح "الحد" بـ "التعبير الأدنى المطلق" في تحديد المشتق. ولكنه لم يصر على هذا الاستبدال. مع ذلك، فقد توقع أن التعريف الأكثر دقة لمفهوم الحد، والذي أطلع عليه لاكروا في كتابه الطويل Traité du calcul différentiel et du calcul intégral ـ وهو النص الذي أرضى ماركس بشكل كبير أكثر من غيره ـ قد يؤدي إلى إدخال مصطلحات جديدة غير ضرورية. والواقع أن ماركس كتب عن مفهوم الحد، "إن هذه الفئة التي وسعها لاكروا على وجه الخصوص تحليلياً، لا تصبح مهمة إلا كبديل لفئة "التعبير الأدنى"" (انظر ص 68).
وهكذا أوضح ماركس أساسيات الجدلية المرتبطة بتقييم المشتقة حتى في التحليل الرياضي المعاصر. وهذه الجدلية، التي هي ليست تناقضاً شكلياً، تجعل حساب التفاضل لنيوتن ولايبنتز يبدو "صوفياً"، كما سنرى لاحقاً. ولكي ندرك هذا، فمن الضروري أن نتذكر أن ماركس لم ينكر تماماً بأي حال من الأحوال تمثيل أي تغيير في قيمة المتغير باعتباره إضافة "زيادة" لها قيمة بالفعل. وعلى العكس من ذلك، عندما نتحدث عن تقييم نتيجة التغيير الذي تم إدخاله بالفعل، فإننا نضطر إلى التحدث بنفس القدر عن زيادة قيمة المتغير (على سبيل المثال، عن اعتماد زيادة الدالة على زيادة المتغير المستقل)، وتصبح "وجهة نظر المجموع" x 1 = x + Δx أو x 1 = x + h ، كما يسميها ماركس، مبررة تماماً. ولقد كرّس ماركس نفسه لهذا الانتقال من المنهج "الجبري" إلى المنهج "التفاضلي" في آخر مؤلفاته "نظرية تايلر"، والتي لا تزال للأسف غير مكتملة، ولذلك لم نستنسخها إلا جزئياً في الجزء الأول من هذا الكتاب. (ويظهر وصف مفصل للغاية لهذه المخطوطة التي كتبها ماركس، مع النص بأكمله تقريباً، في الجزء الثاني من الكتاب، [يانوفسكايا، 1968، ص 498-562]).
هنا يؤكد ماركس أنه بينما في الطريقة "الجبرية" فإن x 1 - x يتكون بالنسبة لنا فقط كشكل من أشكال الفرق، وليس كبعض لـ:
x 1 - x = h
وبالتالي ليس كمجموع:
x 1 = x + h ،
في الانتقال إلى الطريقة "التفاضلية" يمكننا أن ننظر إلى
h
كزيادة (إيجابية أو سلبية) لـ x .
ولدينا الحق في القيام بذلك، لأن x 1 - x = Δx .
ويمكن أن تكون هذه Δx نفسها ، بعد طريقتنا، مجرد رمز أو علامة على اختلافات x s ، أي x 1 - x ، وكذلك بنفس القدر من الصحة ككمية الفرق x 1 - x ، غير محددة مثل x 1 - x ومتغيرة بتغيرها.
"وبالتالي فإن x 1 - x = Δx أو = الكمية غير المحددة h .
ومن هذا يتبين أن:
x 1 = x + h
وأن f(x 1 )
أو y 1
تتحول إلى f(x + h) "
(يانوفسكايا، 1968، ص 522).
وعلى هذا النحو، فمن غير العدل أن نصور وجهة نظر ماركس على أنها تتطلب رفض كل الطرق الأخرى المستخدمة في حساب التفاضل. فإذا نجحت هذه الطرق، فإن ماركس يضع على عاتقه مهمة توضيح سر نجاحها. وبعد أن يُظهِر له ذلك، أي بعد أن تثبت الطريقة المدروسة صحتها وتتحقق الشروط اللازمة لاستخدامها. يرى ماركس أن الانتقال إلى هذه الطريقة ليس مبررًا تمامًا فحسب، بل إنه مناسب أيضًا.
وبعد أن دوّن ماركس مخطوطته التي تضمنت النتائج الأساسية لأفكاره حول جوهر حساب التفاضل والتكامل في عام 1881، اختار أن يرسل إلى إنجلز عملاً ثالثاً يتناول تاريخ طريقة حساب التفاضل والتكامل. في البداية، أراد أن يصور هذا التاريخ بأمثلة ملموسة للطرق المختلفة المستخدمة في عرض النظريات المتعلقة باشتقاق المشتقات، ولكنه تخلى عن هذا القرار وانتقل إلى الخصائص العامة للفترات الأساسية في تاريخ طرق حساب التفاضل والتكامل.
إن هذا العمل الثالث لم تكتمل صياغته بالكامل من جانب ماركس. فلم تبق منه إلا الإشارات التي تشير إلى أنه قد قرر الكتابة عنه ومسودات المخطوطة، التي نعرف منها كيف بنى ماركس وشرع في وضع خطة مقالته التاريخية حول هذا الموضوع. وقد نُشرت هذه النسخة الأولية بالكامل في الجزء الأول من هذا الكتاب (انظر الصفحات 73-106). وقد تم هنا اتباع كل إشارات ماركس إلى ضرورة إدخال هذه الصفحة أو تلك من المخطوطات الأخرى في النص بالكامل. وتتيح لنا المخطوطة إمكانية شرح وجهة نظر ماركس بشأن تاريخ الأساليب الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.
1) "حساب التفاضل الصوفي" لنيوتن ولايبنتز،
2) "حساب التفاضل العقلاني" لأويلر ودالمبير،
3) "حساب الجبر الخالص" للاغرانج.
إن السمات المميزة لطرق نيوتن ولايبنتز كشفت، وفقا لماركس، عن حقيقة أن مبتكريهما لم يروا النواة "الجبرية" لحساب التفاضل: لقد بدأوا على الفور بصيغهم التشغيلية، والتي ظلت أصولها ومعناها غير مفهومة وحتى غامضة، بحيث برز حساب التفاضل والتكامل باعتباره "طريقة مميزة للحساب مختلفة عن الجبر المعتاد" (ص 84)، باعتباره اكتشافًا، وتخصصًا خاصًا تمامًا في الرياضيات "مختلفًا عن الجبر المعتاد كما أن السماء واسعة". (ص 113)
"فيما يتعلق بالسؤال "بأي وسيلة... تم اختيار نقطة البداية للرموز التفاضلية كصيغ تشغيلية"، يجيب ماركس، "إما من خلال افتراضات ميتافيزيقية خفية أو صريحة، والتي تؤدي بدورها مرة أخرى إلى عواقب ميتافيزيقية غير رياضية، وبالتالي عند هذه النقطة يتم التأكد من القمع العنيف [الحذف]، ويتم جعل الاشتقاق يبدأ طريقه، بل ويتم جعل الكميات تنطلق من نفسها." (ص 64)
في مكان آخر، يكتب ماركس عن أساليب نيوتن ولايبنتز: " تتغير x 1 = + Δx من البداية إلى x 1 = x + dx ... ، حيث يُفترض dx من خلال التفسير الميتافيزيقي . أولاً، يتم ايجاده، ومن ثم يتم تفسيره". " وترتب على الافتراض التعسفي هذا أن ... المصطلحات ... يجب التلاعب بها ، من أجل الحصول على النتيجة الصحيحة". (ص 91)
وبعبارة أخرى، ما دام معنى إدخال الرموز التفاضلية في الرياضيات لا يزال بلا تفسير ـ بل وأكثر من ذلك، فهو زائف عموماً، لأن التفاضلين dx وdy يتم تحديدهما ببساطة بالزيادات Δx وΔy ـ ، فإن وسائل حذفهما تبدو غير مبررة، ونحصل عليها من خلال قمع "قسري" و"مراوغ". ويتعين علينا أن نبتكر كميات ميتافيزيقية معينة، صغيرة إلى ما لا نهاية في الواقع، والتي ينبغي التعامل معها في الوقت نفسه باعتبارها الكميات المعتادة المختلفة عن الصفر (والتي تسمى الآن "أرخميدية"). وباعتبارها كميات "تتلاشى" (تتحول إلى صفر) بالمقارنة مع الكميات المحدودة أو الصغيرة إلى ما لا نهاية من مرتبة أدنى (أي باعتبارها كميات "غير أرخميدية")؛ أو ببساطة باعتبارها صفراً وغير صفر في نفس الوقت. "ولذلك، لا يبقى شيء آخر"، يكتب ماركس في هذا الصدد: "غير تصور الزيادات h في المتغير على أنها زيادات صغيرة لا نهائية وإعطائها على هذا النحو وجودًا مستقلاً ، في الرموز x.، y. إلخ، أو dx، dy إ لخ] على سبيل المثال. ولكن الكميات الصغيرة اللانهائية هي كميات، تمامًا مثل تلك التي هي كبيرة لا نهائية (كلمة صغيرة لا نهائية تعني في الواقع صغيرة لا نهائية)؛ وبالتالي فإن dy، dx ... تشارك أيضًا في الحساب تمامًا مثل الكميات الجبرية العادية، وفي المعادلة:
(y + k) - y أو k = 2xdx + dxdx،
يكون لـ
dxdx نفس الحق في الوجود مثل
2xdx ". .. "
ومن ثم فإن المنطق الأكثر غرابة هو الذي يتم به حذفها بالقوة". (ص 83)
إن وجود هذه العناصر الصغيرة التي لا حدود لها في الواقع، أي المتناقضة شكلياً، والتي لا يتم تقديمها من خلال عمليات ذات اتساق قائم على الرياضيات، ولكن يتم افتراضها على أساس "تفسيرات" ميتافيزيقية ، ثم يتم إزالتها من خلال "الحيل"، يمنح حساب نيوتن ولايبنتز، وفقاً لماركس، جودة "صوفية"، على الرغم من المزايا العديدة التي يجلبونها إليها، والتي بفضلها يبدأ على الفور بتشغيل الصيغ.
وفي الوقت نفسه، كان ماركس يقدر تقديراً عالياً الأهمية التاريخية لأساليب نيوتن ولايبنتز. ويكتب: "لذلك، كان علماء الرياضيات يؤمنون حقاً بالطابع الغامض لوسائل الحساب المكتشفة حديثاً والتي أدت إلى النتيجة الصحيحة (والمدهشة، وخاصة في التطبيق الهندسي) عن طريق إجراء رياضي خاطئ تماماً. وبهذه الطريقة، أصبحوا هم أنفسهم في حيرة من أمرهم، وقيموا الاكتشاف الجديد على نحو أعلى، وأثاروا غضب حشد علماء الرياضيات المتعصبين القدامى، وأثاروا صرخات العداء التي ترددت صداها حتى في عالم غير المتخصصين والتي كانت ضرورية لإضاءة هذا الطريق الجديد". (ص 94)
كانت المرحلة التالية في تطوير أساليب حساب التفاضل، وفقًا لماركس، هي "حساب التفاضل العقلاني" لدالمبير وأويلر. هنا يتم تصحيح الأساليب الرياضية الخاطئة لنيوتن ولايبنتز، لكن نقطة البداية تظل كما هي. يبدأ دالامبير مباشرة من نقطة انطلاق نيوتن ولايبنتز،
x 1 = x + dx
لكنه يقوم على الفور بالتصحيح الأساسي:
x 1 = x + Δx ،
أي x وزيادة غير محددة، ولكنها محدودة للوهلة الأولى * 2 والتي يطلق عليها h .
وتحويل هذا h أو Δx إلى dx ... هو النتيجة النهائية للتطور، أو على الأقل قبل أن تغلق البوابة التي لدى الصوفيين ومبتكري حساب التفاضل والتكامل هي نقطة الانطلاق له. (ص 94) وأكد ماركس أن إزالة الرموز التفاضلية من النتيجة النهائية تتم "بواسطة عملية رياضية صحيحة. وبالتالي يتم التخلص منها الآن دون أي حيلة". (ص 96)
ولهذا السبب، كان ماركس يقدر عالياً الأهمية التاريخية لمنهج دالمبير. وهو يكتب في هذا الصدد: «لقد نزع دالمبير الحجاب الصوفي عن حساب التفاضل، وخطى خطوة هائلة إلى الأمام» (ص 97).
ولكن ما دامت نقطة البداية عند دالمبير هي تمثيل المتغير x على أنه مجموع x + عنصر موجود، مستقلاً عن المتغير x ، فإن الزيادة Δx - إذن لم يكتشف دالمبير بعد العملية الديالكتيكية الحقيقية للتفاضل. ويقدم ماركس الملاحظة النقدية فيما يتعلق بدالمبير: "يبدأ دالمبير بـ (x + dx) ولكنه يصحح التعبير إلى (x + Δx) ، أو (x + h) ؛ ويصبح التطور الآن ضروريًا حيث يتم تحويل Δx أو h إلى dx ، ولكن كل هذا التطور يستمر حقًا". (ص 128).
كما هو معروف، من أجل الحصول على النتيجة dy/dx من نسبة الفروق النهائية Δy/Δx ، لجأ دالمبير إلى "عملية الحد". في الكتب المدرسية التي استخدمها ماركس، كان هذا المقطع إلى الحد ينبئ بتوسيع التعبير f(x + h) إلى جميع قوى h ، حيث تم الكشف عن المشتقة "المضمنة بالفعل" f (x) في معامل h المرفوع إلى القوة الأولى .
وبالتالي أصبحت المشكلة تتلخص في "تحرير" المشتقة من العامل h والحدود الأخرى في السلسلة. وقد تم ذلك بشكل طبيعي، إذا جاز التعبير، من خلال تعريف المشتقة ببساطة باعتبارها معامل h مرفوعًا إلى القوة الأولى في توسع f(x + h) إلى سلسلة من قوى h.
في الواقع، "في الطريقة الأولى 1) ، وكذلك الطريقة العقلانية 2) ، يتم تصنيع المعامل الحقيقي المطلوب جاهزًا بواسطة نظرية ذات الحدين؛ يتم العثور عليه فورًا في الحد الثاني من التوسع المتسلسل، وهو الحد الذي يتم دمجه بالضرورة مع h¹ ؛وبالتالي فإن بقية العملية التفاضلية، سواء في 1) أو في 2) هي ترف. لذا، نرمي بالثقل غير الضروري في البحر." (ص 98).
وقد فعل الشيء نفسه لاغرانج، مؤسس المرحلة التالية في تطوير حساب التفاضل والتكامل: حساب "الجبر الخالص"، في تقسيم ماركس لمراحل تطوره.
في البداية أحب ماركس كثيراً طريقة لاغرانج: "نظرية الدالة المشتقة التي أعطت أساساً جديداً لحساب التفاضل". إن نظرية تايلر، التي كان من الممكن الحصول من خلالها عادة على توسيع الدالة f(x + h) إلى سلسلة من قوى الدالة h ، والتي نشأت تاريخياً باعتبارها البناء المتوج لحساب التفاضل بالكامل، تحولت بهذه الطريقة إلى نقطة الانطلاق لحساب التفاضل، حيث ربطتها على الفور بالرياضيات التي سبقت حساب التفاضل (ولكن دون استخدام رموزها المحددة)). لاحظ ماركس فيما يتعلق بهذا، "أن الارتباط الحقيقي والأبسط بين الجديد والقديم يتم اكتشافه بمجرد أن يكتسب الجديد شكله النهائي، ويمكننا أن نقول إن حساب التفاضل قد اكتسب هذه العلاقة من خلال نظريات تاليرو وماكلورين. *3 لذلك، خطرت الفكرة الأولى في ذهن لاغرانج لإعادة حساب التفاضل إلى أساس جبري متين". (ص 113)
ولكن ماركس وجد على الفور أن لاغرانج لم يستفد من هذه الرؤية. وكما هو معروف، حاول لاغرانج أن يثبت أنه "بشكل عام" ـ أي باستثناء "العديد من الحالات الخاصة" التي يكون فيها حساب التفاضل "غير قابل للتطبيق" ـ فإن التعبير f(x + h) قابل للتوسع في السلسلة:
f(x) + ph + qh² + rh³ + ...,
حيث p، q، r، ... معاملات قوة h ، هي دوال جديدة لـ x ، مستقلة عن h ، و"قابلة للاشتقاق" من f(x) .
ولكن برهان لاغرانج لهذه النظرية ـ في واقع الأمر دون أن يكون له معنى رياضي دقيق ـ لم ينشأ بصورة طبيعية. "إن هذه القفزة من الجبر العادي ، وبجانب استخدام الدوال العادية التي تمثل الحركة والتغيير بوجه عام، لم تثبت كأمر واقع ، وهي في تناقض واضح مع كل قوانين الجبر التقليدي..." (ص 177)، هكذا كتب ماركس عن برهان لاغرانج هذا.
ويخلص ماركس فيما يتصل بمعادلة لاغرانج الأولية إلى أنها ليست غير مثبتة فحسب، بل إن "استنباط هذه المعادلة من الجبر يبدو بالتالي وكأنه يعتمد على الخداع" (ص 117) .
في الجزء الختامي من المخطوطة، تظهر طريقة لاغرانج باعتبارها استكمالاً للطريقة التي بدأها نيوتن ولايبنتز وصححها دالامبير؛ باعتبارها "الجبر" القائم على تايلر بواسطة طريقة الصيغ. "وبهذه الطريقة بالذات اتبع فيشته كانط وشيلينج وهيجل، ولم يقم أي من فيشته أو شيلينج أو هيجل بدراسة الأسس العامة لكانط، أو المثالية بشكل عام: وإلا لما تمكنوا من تطويرها إلى أبعد من ذلك". (ص 119)
ونستطيع أن نرى أن ماركس يقدم لنا في رسم تاريخي مثالاً واضحاً لما ينبغي أن يكون في رأيه تطبيق منهج المادية الديالكتيكية في علم مثل تاريخ الرياضيات.
لقد تطلب إكمال الطبعة الحالية من المخطوطات الرياضية لكارل ماركس قدراً كبيراً من التحضير. فقد تُرجمت نصوص المخطوطات كاملة؛ ورُتبت زمنياً؛ وفُصِلَت مقتطفات وملخصات عن تصريحات ماركس نفسه؛ وعلى أساس تحليل محتواها الرياضي جُمعت المخطوطات في وحدات يمكن قراءتها ككل (في الواقع، لا تشكل العديد من المخطوطات دفاتر ملاحظات، بل هي عبارة عن أوراق منفصلة لا يوجد أي نوع من الترتيب لها). وفي الغالبية العظمى من الحالات، بات من المعروف المصدر الذي استقى منه ماركس مقتطفاته، أو المصدر الذي لخصه. وبالمقارنة بالأعمال الأصلية، تم تحديد جميع تعليقات ماركس في الملخصات؛ وتمت ترجمة جميع أعمال ماركس المستقلة وملاحظاته إلى اللغة الروسية.
إن مهمة فصل آراء ماركس الشخصية عن ملخصاته ومقتطفاته كانت تنطوي على سلسلة من الصعوبات. فقد كتب ماركس ملخصاته لاستخدامه الشخصي، وذلك حتى تكون في متناول يده المادة التي يحتاج إليها. وكما هي عادته، فقد استخدم مجموعة كبيرة من المصادر المتنوعة، ولكن إذا لم يعتبر الرواية جديرة باهتمام خاص، إذا كانت، على سبيل المثال، كتابًا مدرسيًا معاصرًا تم تجميعه وتوزيعه على نطاق واسع في إنجلترا، فإن ماركس كان في كثير من الأحيان لا يرفق مقتطفاته بالإشارة إلى المصدر الذي استقى منه هذه المقتطفات. وتزداد المهمة تعقيدًا بسبب حقيقة مفادها أن أغلب الكتب الرياضية التي استخدمها ماركس أصبحت الآن نادرة في مجال المراجع. وفي التحليل النهائي، ما كان بالإمكان إتمام كل هذا العمل إلا في إنجلترا، حيث تمت فيها دراسة وفحص مخزونات الأدبيات الموجودة في هذه المكتبات بالتفصيل لحل هذه المشكلة: المتحف البريطاني، وجامعتي لندن وكامبريدج، وجامعة لندن، وكلية ترينيتي وكلية سانت جيمس في كامبريدج، والجمعية الملكية في لندن، وأخيرًا المكتبات الخاصة للشخصيتين الإنجليزيتين البارزتين في القرن التاسع عشر: "دي مورغان" و "غريفز". كما تم تقصي مكتبات أخرى أيضًا، مثل مكتبة كلية سانت كاترين. وبالنسبة للمخطوطات التي تم إعدادها بطبيعتها من مصادر ألمانية، قام المؤرخ الألماني للرياضيات "ووسينغ"، بناءً على طلب المعهد، بالتحقيق في الموارد الببليوغرافية لجمهورية ألمانيا الديمقراطية.
وقد قام معهد التاريخ الاجتماعي في أمستردام، حيث يتم حفظ الأصول الأصلية للمخطوطات الرياضية لماركس تلك ، بتوفير نسخ مصورة من عدة صفحات مفقودة من المخطوطات.
وبما أن المخطوطات هي في طبيعة الأمر مسودات أولية، فإن المرء يجد إغفالا وحتى أخطاء في المقتطفات المنسوخة. والإضافات أو التصحيحات المقابلة لها موضوعة بين قوسين مربعين. ونتيجة لذلك، فإن الأقواس المربعة التي وضعها ماركس نفسه موضحة بين قوسين مربعين. والكلمات التي اختصرها ماركس مكتوبة بالكامل، ولكن النص لم يتغير بشكل أساسي. بل إن الإملاء القديم ما زال محفوظًا في بعض الأماكن.
اللغة الأساسية للمخطوطات هي اللغة الألمانية. وإذا كان المرجع المستخدم في المخطوطات باللغة الفرنسية أو الإنجليزية، فقد يكتب ماركس تعليقاته أحيانًا باللغة الفرنسية أو الإنجليزية. وفي مثل هذه الحالات، يتبين أن نص ماركس مختلط اللغات إلى الحد الذي يجعل من الصعب تحديد اللغة المحددة التي كُتبت بها المخطوطة.
كما أن تأريخ المخطوطات كان ينطوي على صعوبات كبيرة. ويرد وصف تفصيلي لهذه الصعوبات في كتالوج المخطوطات. حيث يسرد هذا الكتالوج رقم الأرشيف للمخطوطة، والعنوان المخصص لها، وخصائص مصادرها أو محتواها. وإذا كان العنوان أو العنوان الفرعي من تأليف ماركس، فإنه يُكتب بين علامتي اقتباس باللغة الأصلية وبالترجمة الروسية. وفي الجزء الأول من الكتاب، تم وضع علامة النجمة على العناوين التي لا تخص ماركس.
يرد جرد المخطوطات بالترتيب الذي وردت به أوراق الأرشيف. ويرد في الجرد تعداد ماركس الخاص، حسب عدد الحروف، مع الإشارة إلى أوراق الأرشيف. ويصاحب النصوص المنشورة إشارة إلى أوراق الأرشيف التي توجد عليها. وجميع المخطوطات مأخوذة من المجلد 1، المجلد 1.
إن لغة مخطوطات ماركس الرياضية تبتعد في كثير من الحالات عن لغتنا المعاصرة المعتادة. ولكي نفهم فكره، فمن الضروري الرجوع إلى المصادر التي استخدمها لتوضيح معنى مصطلحاته. ولكي لا نقطع نص ماركس، فإننا نضع مثل هذه التوضيحات في الملاحظات في نهاية الكتاب. ثم، عندما نجد أن هناك حاجة إلى معلومات أكثر تفصيلاً حول موضوع المصادر التي استشارها ماركس، فإننا نوردها في الملحق. وكل هذه الملاحظات والمراجع هي ذات طابع توضيحي بحت.
يحتوي نص ماركس على عدد كبير من الخطوط التي أكد بها على النقاط ذات الأهمية الخاصة بالنسبة له. وقد تم الإشارة إلى كل هذه الخطوط بخط مائل.
تم إعداد الكتاب من قبل الأستاذة س. أ. يانوفسكايا، الأستاذة بجامعة موسكو الحكومية التي تحمل اسم م. ف. لومونوسوف، والتي كتبت أيضًا المقدمة، وقائمة المخطوطات الرياضية (التي تم تجميعها بمساعدة أ. ز. ريبكين)، والملاحق والملاحظات. شارك الأستاذ ك. أ. ريبنيكوف في تحرير الكتاب، حيث قام من بين مهام أخرى بالجزء الأكبر من عمل البحث في المصادر التي استخدمها كارل ماركس في هذا العمل حول "المخطوطات الرياضية". في إعداد هذه الطبعة، تم النظر بعناية في تعليقات ونصائح الأكاديميين أ. ن. كولموغوروف وإي. جي. بتروفسكي.
أشرف على تحرير الكتاب وإعداده للنشر ومراجعته كل من أ. ز. ريبكين، رئيس تحرير القسم الفيزيائي الرياضي في دار نشر ناوكا، وأ. ك. سينيكينا، من معهد الماركسية اللينينية التابع للجنة المركزية للحزب الشيوعي في الاتحاد السوفييتي. ويتضمن الكتاب فهرسًا للمراجع التي تم الاستشهاد بها والرجوع إليها، بالإضافة إلى فهرس للأسماء. وقد تم الإشارة إلى المراجع في نص ماركس في الفهارس بخط مائل.

________________________________________
* يحتوي هذا المجلد على ترجمة للجزء الأول فقط. *2 تفهم الأدبيات التي استشارها ماركس مصطلح "الزيادة المحدودة" على أنه زيادة محدودة غير صفرية - س. أ. يانوفسكايا. *3 يمكن اعتبار نظرية ماكلورين - كما اعتبرها مار (ص 111، 112) - حالة خاصة من نظرية تايلر. - المحرر.

مراسلات ماركس وإنجلز 1865
رسالة من ماركس إلى إنجلز
في مانشستر
خلاصة
________________________________________
تاريخ الكتابة: لندن، 20 مايس 1865؛
الناشر: Gesamtausgabe ، الناشرون الدوليون، 1942؛
النسخ: سالي رايان؛
ترميز HTML: سالي رايان.
________________________________________
أنا أعمل الآن مثل الحصان، حيث يجب أن أستغل كل الوقت الذي أستطيع فيه العمل، ولا تزال الدمامل موجودة، على الرغم من أنها الآن تزعجني محليًا فقط وليس في منطقة الدماغ.
بين الحين والآخر، وبما أنه لا يمكن للمرء أن يكتب دائمًا، فأنا أمارس ببعض دروس حساب التفاضل والتكامل dx/dy . ليس لدي الصبر الكافي لقراءة أي شيء آخر. وأي قراءة أخرى تدفعني دائمًا إلى العودة إلى مكتبي للكتابة.
في هذا المساء، تعقد الدورة الخاصة للأممية. وقد طرح رجل عجوز طيب، من أتباع أوين، يدعى ويستون (نجّار)، الاقتراحين التاليين، اللذين يدافع عنهما باستمرار في مجلة بيهايف : (1) إن الارتفاع العام في معدل الأجور لن يكون ذا فائدة للعمال؛ (2) وبالتالي، فإن النقابات العمالية لها تأثير ضار.
إذا تم قبول هذين الاقتراحين اللذين لا يؤمن بهما إلا هو في مجتمعنا، فإننا سنتحول إلى نكتة (هكذا يجب أن نكون وسادة الصفر Kladderadatsch ) بسبب النقابات العمالية هنا وبسبب عدوى الإضرابات التي تسود الآن في القارة.
في هذه المناسبة ـ وبما أنه يُسمح لغير الأعضاء بحضور هذا الاجتماع ـ فسوف يسانده رجل إنجليزي المولد، كتب كتيباً بنفس المعنى. ومن المتوقع بالطبع أن أقدم الرد. لذا كان ينبغي لي حقاً أن أعد ردي لهذا المساء، ولكنني اعتقدت أنه من الأهمية بمكان أن أكتب المزيد في كتابي، ولذا فسوف أضطر إلى الاعتماد على الارتجال.
بالطبع أعرف مسبقًا ما هي النقطتان الرئيسيتان:
(1) أن أجور العمل تحدد قيمة السلع؛ (2) إذا دفع الرأسماليون 5 شلنات بدلاً من 4 شلنات اليوم، فإنهم سيبيعون سلعهم غدًا بـ 5 شلنات بدلاً من 4 شلنات (حيث أنهم قادرون على ذلك بسبب الطلب المتزايد).
ورغم أن هذا يبدو سخيفاً، ولا يرتبط إلا بالمظهر الخارجي الأكثر سطحية، فإنه ليس من السهل مع ذلك أن نشرح للناس الجهلة كل القضايا الاقتصادية التي تتنافس مع بعضها البعض هنا. لا يمكنك ضغط دورة في الاقتصاد السياسي في ساعة واحدة. ولكننا سنبذل قصارى جهدنا.
[ملاحظة : ناقش ماركس ضد ويستون ليلة العشرين من مايس ومرة أخرى في الثالث والعشرين؛ وفي الرابع والعشرين من حزيران 1865، كتب إلى إنجلز: "لقد قرأت ورقة في المجلس المركزي (ربما تكون في صفحتين للطابعة) حول المسألة التي أثارها السيد ويستون فيما يتعلق بتأثير الارتفاع العام للأجور، إلخ. كان الجزء الأول منها ردًا على هراء ويستون؛ وكان الجزء الثاني شرحًا نظريًا، بقدر ما كانت المناسبة مناسبة لذلك. والآن يريد الناس طباعة هذا... يحتوي الجزء الثاني، في شكل مكثف للغاية ولكنه شائع نسبيًا، على الكثير من الأشياء الجديدة، المأخوذة مسبقًا من كتابي رأس المال، وفي الوقت نفسه، يتعين عليها بالضرورة أن تتجاهل كل أنواع الأشياء".]
إن "الورقة" المشار إليها هي كتيب: "القيمة والسعر والربح" لماركس ، والتي قرأها في العشرين من يونيو/حزيران. ولم يوافِق على نشرها في عام 1865، عندما لم يكن العرض الكامل لها في "رأس المال" قد قدم للعالم بعد، ثم نُسيت حتى بعد وفاة إنجلز في عام 1895، عندما عثرت عليها ابنة ماركس، إليانور ماركس أفلينج، التي حررتها ونشرتها في شكلها الإنجليزي الأصلي في عام 1898.
--
1882
إنجلز إلى ماركس
في فنتنور
المصدر : مخطوطات ماركس الرياضية، منشورات نيو بارك، 1983؛
منقول من طرف : آندي بلندن.
لندن، 21 نوفمبر 1882
عزيزي موهر، (*)
... مرفق مقال رياضي لمور. الاستنتاج القائل بأن "الطريقة الجبرية ليست سوى طريقة تفاضلية مقنَّعة" يشير بالطبع فقط إلى طريقته الخاصة في البناء الهندسي، وهو صحيح تمامًا هناك أيضًا. لقد كتبت إليه أنك لا تضع أي قيمة على الطريقة التي يتم بها تمثيل الشيء في البناء الهندسي، حيث أن التطبيق على معادلات المنحنيات كافٍ تمامًا. علاوة على ذلك، فإن الاختلاف الأساسي بين طريقتك والطريقة القديمة هو أنك تجعل x يتغير إلى x ، مما يجعلهما يتغيران حقًا، بينما تبدأ الطريقة الأخرى من x + h ، والتي تكون دائمًا مجرد مجموع مقدارين، ولكنها لا تكون أبدًا تغيرًا في المقدار. وبالتالي، فإن x الخاصة بك ، حتى عندما تمر عبر x وتصبح مرة أخرى أول x ، تظل مختلفة عما كانت عليه؛ بينما تظل x ثابتة طوال الوقت، إذا تمت إضافة h إليها أولاً ثم تم إزالتها مرة أخرى. ومع ذلك، فإن كل تمثيل بياني للتغير هو بالضرورة تمثيل للعملية المكتملة، والنتيجة، وبالتالي لكمية أصبحت ثابتة، الخط x ؛ يتم تمثيل مكملها على النحو التالي x + h ، قطعتان من خط. ومن هذا يتبين بالفعل أن التمثيل البياني لكيفية التحول لـ x ، ثم يصبح x مرة أخرى ، هو أمر مستحيل ...
(*) ملاحظة المترجم: كان انجلز يكنّي رفيقه ماركس بكنية "موهر" (Mohr) [تُلفظ بالألمانية: مور] وتعني "المغربي" بسبب سمرة سحنة ماركس.)
مراسلات ماركس وإنجلز 1882
ماركس إلى إنجلز
في لندن
المصدر : مخطوطات ماركس الرياضية، منشورات نيو بارك، 1983؛
منقول من طرف : آندي بلندن.
22 نوفمبر 1882
1، حدائق سانت بونيفاس،
فينتنور
عزيزي فريد،
... "سام" [صمويل مور]، كما رأيتم على الفور، ينتقد الطريقة التحليلية التي طبقتها بمجرد تجاهلها، ويشغل نفسه بدلاً من ذلك بالتطبيق الهندسي، الذي لم أقل عنه كلمة واحدة. وعلى نفس النحو، يمكنني التخلص من تطور ما يسمى بالطريقة التفاضلية الصحيحة - بدءًا بالطريقة الصوفية لنيوتن ولايبنتز، ثم الانتقال إلى الطريقة العقلانية لدالامبير وأويلر، وانتهاءً بالطريقة الجبرية الصارمة للاغرانج (والتي، مع ذلك، تبدأ دائمًا من نفس النظرة الأساسية الأصلية لنيوتن - لايبنتز) - يمكنني التخلص من هذا التطور التاريخي للتحليل بالكامل بالقول إنه لم يتغير عمليًا أي شيء أساسي في التطبيق الهندسي لحساب التفاضل، أي في التمثيل الهندسي.
الآن تشرق الشمس، لذا فقد حان الوقت للخروج للتنزه، ولن أتحدث بعد الآن عن الرياضيات، ولكنني سأعود لاحقًا إلى الأساليب المختلفة من حين لآخر بالتفصيل ...
-
مخطوطات ماركس الرياضية 1881
إ. كولئمان.[E.K.]: كارل ماركس والرياضيات: حول "المخطوطات الرياضية" لماركس *
________________________________________
تاريخ الكتابة : أغسطس 1881؛
المصدر : مخطوطات ماركس الرياضية، منشورات نيو بارك، 1983؛
النشر الأول : بالترجمة الروسية، في Pod znamenem marksizma ، 1933.
________________________________________
إن نشوء النظرية العلمية للنضال الثوري للبروليتاريا العالمية من أجل الإطاحة بالنظام الرأسمالي وبناء الاشتراكية جعل من الضروري، كما أشار ماركس نفسه، دراسة الظروف الاجتماعية من وجهة نظر المادية والديالكتيك. ولابد من استنتاج هذه الظروف من مجموعة الظواهر الواقعية برمتها والتحقق منها من خلال المجموع المتعدد الأوجه، سواء من حقائق التاريخ أو من واقع الطبيعة والمجتمع والفكر الإنساني. وعلى هذا فإن أحد الشروط الضرورية لإنشاء الشيوعية العلمية كان يستلزم إتقان العلوم التي تدرس القوانين الحاكمة لتطور الطبيعة، وإتقان نتائجها وأساليبها. وفي الوقت نفسه كانت دراسة العلوم الطبيعية، والرياضيات أيضًا، من وجهة نظر تاريخها وتفاعلها مع التطور الاقتصادي للمجتمع، ضرورية للنشاط العملي للبروليتاريا كطبقة تصل إلى السلطة من أجل تحويل المجتمع بوعي.
"فيما يتصل بالرياضيات، كان على المادية الديالكتية أن تحل مسألتين مترابطتين بشكل وثيق. فمن ناحية، كان من الضروري تعميم نتائج الرياضيات فلسفياً، ودمجها في النظرة العلمية للعالم، أي النظرة المادية الديالكتية للعالم. ومن ناحية أخرى، كان من الضروري استخدام أسلوب الديالكتيك المادي لإلقاء الضوء على المسائل الحاسمة في الرياضيات، وبالتالي إثراء الأسلوب الديالكتي. ويعود هذا العمل إلى حد كبير إلى فريدريك إنجلز، لأن ماركس كان مشغولاً بشكل شبه كامل بإثبات صحة قوانين التطور الاقتصادي للرأسمالية والتوجيه العملي للحركة العمالية الدولية. وعلى الرغم من هذا، فقد تابع ماركس بإصرار تقدم العلوم الطبيعية والإنجازات التقنية في عصره، وظل مشغولاً بالرياضيات إلى حد كبير لمدة ثلاثين عامًا تقريبًا، من أواخر الخمسينيات وحتى وفاته عام 1883.
وقد انعكست هذه الدراسات في عدد من الملاحظات المنتشرة في جميع أعمال ماركس، سواء فيما يتصل بتأثير الرياضيات على الفلسفة أو فيما يتصل بالتوضيح الفلسفي لمشاكل محددة في الرياضيات. وبالإضافة إلى ذلك، فقد تم التعبير عن هذه الدراسات في مراسلاته الواسعة النطاق، وخاصة مع إنجلز. ثم استخدمها ماركس في إعداد أهم أعماله، رأس المال . وأخيرًا، تم الحفاظ على نتائج دراساته في المخطوطات الواسعة التي تركها ماركس بعد وفاته. وقد كُرِّست هذه الأوراق لمختلف مشاكل الرياضيات وتاريخها، وفي المقام الأول مشكلة الأساس المنطقي والفلسفي لحساب التفاضل والتكامل.
كان لدى ماركس دافعان لدراساته الرياضية: الاقتصاد السياسي والفلسفة.
ورغم أن ماركس قد أكد مراراً وتكراراً على الطبيعة الخاصة والتعقيد غير العادي للظواهر الاقتصادية واستحالة مقارنتها بالظواهر البيولوجية، ناهيك عن الظواهر الفيزيائية، فإنه مع ذلك اعتبر أن تطبيق الرياضيات ليس فقط ممكناً بل وضرورياً في الواقع للتحقيق في القوانين العامة للاقتصاد. وفي كتابه رأس المال استخدم ماركس شكلاً رياضياً في تدوين قوانين الاقتصاد، ولم يكن ذلك بغرض التوضيح فحسب. فتحليل شكل القيمة والمال، وتركيب رأس المال، ومعدل القيمة الزائدة، ومعدل الربح، وعملية تحويل رأس المال، وتداوله، ودورانه، وإعادة إنتاجه، وتراكمه، ورأس المال المقترض والائتمان، والإيجارات التفاضلية: ـ أنجز ماركس كل هذا باستخدام الرياضيات. ومن خلال الانتقال من أبسط التحويلات الجبرية من صيغة إلى أخرى، قام بعد ذلك بتحليلها وتفسيرها اقتصادياً وصاغ قوانين جديدة. وباستخدام هذه الوسائل على وجه التحديد، على سبيل المثال، استنتج ماركس اعتماد معدل الربح [ص] على معدل الفائدة.
ص = م/(ج + ف) [أي : P = M/(C +V) ]
حيث (ج) هو رأس المال الثابت، و (ف) هو رأس المال المتغير، و(م) هي القيمة الفائضة *2 حول التركيب العضوي لرأس المال
O = C/V
بحيث:
P = A/(1 + O)
حيث A = M/V هو معدل إنتاج القيمة الزائدة، ووضع قانون ميل معدل الربح المتوسط إلى الانخفاض. وبنفس الطريقة أسس العلاقة المتبادلة بين قطاعي إعادة الإنتاج الرأسمالي: القطاع الأول هو إنتاج (**) وسائل الإنتاج:
C1 + V1 + M1 = T1
حيث T1 هي القيمة الإجمالية لقطاع السلع المنتجة، والقطاع الثاني هو إنتاج وسائل الاستهلاك،
C1 + V1 + M1 = T1
بحيث تكون عملية إعادة الإنتاج البسيطة، *3
C2 = V1 - M1 .
حيث (**) اكتشف بذلك القانون العام لتكوين تكاليف الإنتاج و"الآلية" الاقتصادية التي تؤدي حتماً، في ظل ظروف الرأسمالية ما قبل الاحتكارية، إلى أزمات اقتصادية دورية قوية. †
إن الأعمال التحضيرية التي لم تنشر بعد للمجلد الثالث من رأس المال تحتوي على حسابات ماركس التفصيلية لكمية (A⋅O)/(1 + O)، والفرق بين معدل فائض القيمة A ومعدل الربح P، حيث مثل ماركس تغيراتها في شكل مجموعة متنوعة من المنحنيات. وبما أن المجلد الثالث من رأس المال ، والذي خصص لعملية الإنتاج الرأسمالي ككل، هو عبارة عن توليفة من المجلد الأول - العملية المباشرة لإنتاج رأس المال - والمجلد الثاني - عملية تحويل رأس المال - فقد حاول ماركس في مسوداته الأولية استكمال الصورة النوعية الكاملة والشاملة التي قدمها في عمله السابق بصورة كمية.
ولم يقم ماركس بإكمال هذا العمل، الذي يتطلب حتى في حالة إعادة الإنتاج البسيطة حسابات معقدة إلى حد ما، وإن كانت بدائية. ومع ذلك، طرح العمل بشكل صحيح مشكلة توزيع القيمة الزائدة (في تكاليف الإنتاج) في ظل ظروف إعادة الإنتاج على نطاق واسع في كلا القطاعين من أجل الحصول على أقصى قدر من الأرباح، كما استنتج قانون الأزمات الدورية. وهذه مشاكل لا يمكن حلها إلا من خلال الأساليب المعاصرة للبرمجة الخطية. ومع ذلك، يمكن أيضًا دراسة آلية الأزمات الاقتصادية تجريبياً، وهي الطريقة التي كتب عنها ماركس إلى إنجلز في 31 مايو 1873:
"لقد أرسلت إلى مور للتو تاريخًا كان لابد من تهريبه إلى هنا. ولكنه يعتقد أن المسألة غير قابلة للحل أو على الأقل غير قابلة للحل مؤقتًا نظرًا للعديد من الأجزاء التي لا تزال الحقائق المتعلقة بهذه المسألة بحاجة إلى اكتشاف. والمسألة هي كما يلي: أنت تعرف جداول تمثل فيها الأسعار، المحسوبة بنسبة مئوية وما إلى ذلك، نموها على مدار عام وما إلى ذلك، مما يوضح الزيادات والانخفاضات بخطوط متعرجة. لقد حاولت مرارًا وتكرارًا، لتحليل الأزمات، حساب هذه "الصعود والهبوط" كمنحنيات خيالية، وفكرت (وحتى الآن ما زلت أعتقد أن هذا ممكنًا مع وجود مادة تجريبية كافية) في استنتاج قانون مهم للأزمات من هذا رياضيًا. يرى مور، كما قلت بالفعل، أن المشكلة غير عملية إلى حد ما، وقد قررت التخلي عنها في الوقت الحالي." *4
لسوء الحظ، لم يكن عالم الرياضيات صمويل مور، الذي كان مستشار ماركس في الرياضيات، على دراية كافية؛ ومن الواضح أنه لم يكن على دراية بتحليل فورييه، ذلك الفرع من الرياضيات التطبيقية الذي يتعامل مع اكتشاف الدوريات الكامنة في العمليات التذبذبية المعقدة، والتي كانت أسسها موجودة بالفعل في عمل ج. فورييه عام 1822، النظرية التحليلية للحرارة .
وبما أن ماركس كان يعتقد، وفقاً لبول لافارج، أن "العلم لا يتطور حقاً إلا إذا تعلم كيفية استخدام الرياضيات"، فقد طرح أطروحة إمكانية، بل وضرورة، تطبيق المنهج الرياضي على البحث في العلوم الاجتماعية، وخاصة في الاقتصاد السياسي. وفي الوقت نفسه لم يكن هذا يعني استبدال الاقتصاد السياسي وقوانينه وأساليبه العامة بالرياضيات على غرار ما يسمى "المدرسة الرياضية" للاقتصاد السياسي المبتذل، التي ترأسها في إنجلترا دبليو جيفونز وفي إيطاليا فيكتور باريتو وغيره، والتي نشأت في ثمانينيات القرن التاسع عشر في معارضة "المدرسة التاريخية" المفلسة ولكنها، مثل الأخيرة، دافعت أيضاً عن "انسجام المصالح" بين جميع (**) طبقات المجتمع الرأسمالي. في رسالة إلى إنجلز بتاريخ 6 مارس 1868، أبدى ماركس الملاحظة التالية فيما يتعلق بأحد ممثلي هذه المدرسة، ماكلويد: "... حمار منتفخ، 1) يضع كل تكرار مبتذل (**) في شكل جبري و2) يمثله هندسيًا". *5
وعلى هذا فإن الرياضيات، كما هي الحال في أي علم متخصص آخر، وفي الاقتصاد السياسي، لا يمكن أن تكون أداة قوية للبحث إلا في حدود صحة نظرية ذلك العلم المتخصص. وعلى هذا فإن ماركس، كما كتب صديقه القانوني والناشر الروسي م. م. كوفاليفسكي، كرس نفسه لدراسة الرياضيات من أجل اكتساب القدرة على تطبيق المنهج الرياضي فضلاً عن دراسة أعمال المدرسة الرياضية بعمق.
ولعل الحكم المدروس الذي أصدره ماركس بشأن إحدى أهم المشاكل المتعلقة بأسس الهندسة، والذي عبر عنه في كتابه "نظرية القيمة الزائدة"، وهو المجلد الرابع غير المكتمل من كتاب رأس المال ، في سياق جدال مع [صموئيل] بيلي، الذي استخدم القياس الهندسي بشكل غير صحيح، يشكل مثالاً على استنتاجه الفلسفي بشأن مسائل الرياضيات. فقد كتب ماركس:
"إذا كان الشيء بعيدًا عن شيء آخر، فإن المسافة هي في الواقع علاقة بين الشيء والآخر؛ ولكن في الوقت نفسه، هذه المسافة هي شيء مختلف عن هذه العلاقة بين الشيئين. إنها بُعد من أبعاد المكان، إنها طول معين قد يعبر أيضًا عن مسافة شيئين آخرين إلى جانب الأشياء المقارنة. ولكن هذا ليس كل شيء. عندما نتحدث عن المسافة كعلاقة بين شيئين، فإننا نفترض شيئًا "جوهريًا"، بعض "خصائص" الأشياء نفسها، والتي تمكنها من الابتعاد عن بعضها البعض. ما هي المسافة بين المقطع اللفظي A والطاولة؟ مثل هذا السؤال سيكون غير منطقي. عندما نتحدث عن المسافة بين شيئين، فإننا نتحدث عن الفرق في المكان. وبالتالي نفترض أن كليهما موجودان في المكان، كنقطتين من المكان. وبالتالي فإننا نساوي بينهما باعتبارهما وجودين للمكان، وبعد أن نساويهما تحت النوع المكاني فقط نميز بينهما كنقطتين مختلفتين من المكان . إن الانتماء إلى المكان هو وحدتهما."
وهنا، بينما كان ماركس يحلل عملية التجريد التي نشأت عن طريقها المفهوم الهندسي "المسافة" أو "الطول"، فإنه لم يركز الانتباه فقط على الأصل المادي لهذا المفهوم، الذي يقوم أساسه على "خاصية" جسمين متماثلين، بل ركز أيضاً على طابعه النسبي، وعلى ارتباطه غير القابل للانفصال بالمكان، باعتباره كياناً مادياً موجوداً حقاً. وكان كل هذا في الفترة من 1861 إلى 1863، أثناء الهيمنة المتواصلة للنظرة العالمية لنيوتن في العلوم، قبل أربعين عاماً من ظهور نظرية النسبية، التي توصل فيها أينشتاين بجرأة إلى استنتاج منطقي مفاده أن "الطول" ليس مجرد مقياس تجريدي سطحي لجسم مادي، بل هو سمة متكاملة للعلاقة المكانية بين جسمين.
إن تصريح ماركس حول الطبيعة الإحصائية للآليات الاقتصادية باعتبارها آليات لعمليات واسعة النطاق له أهمية منهجية استثنائية في مجال الإحصاء الرياضي. تعبر هذه الآليات عن تفاعلات العمليات الفردية في قوانين الاحتمالات؛ وهي تهيمن على أي انحراف عن المتوسط. وقد عاد ماركس مراراً وتكراراً إلى هذه المشكلة. على سبيل المثال، في كتابه " الأسس الاقتصادية " لعامي 1857 و1858، كتب في الفصل الخاص بالنقود:
"إن قيمة السلع كما تحددها أوقات العمل ليست سوى قيمتها المتوسطة. ويبدو هذا المتوسط تجريداً خارجياً إذا تم حسابه كرقم متوسط لعصر ما، على سبيل المثال، فإن رطل القهوة يساوي شلناً واحداً إذا تم أخذ متوسط سعر القهوة على مدى 25 عاماً على سبيل المثال؛ ولكنه حقيقي للغاية إذا ما تم الاعتراف به في نفس الوقت باعتباره القوة الدافعة والمبدأ المتحرك للتذبذبات التي تمر بها أسعار السلع خلال عصر معين. وهذه الحقيقة ليست ذات أهمية نظرية فحسب: بل إنها تشكل أساس المضاربة التجارية، التي يعتمد حسابها للاحتمالات على متوسطات الأسعار المتوسطة التي تشكل مركز التذبذب، وعلى متوسط القمم والقيعان المتوسطة للتذبذب أعلى أو أسفل هذا المركز. *6
وعلى الرغم من المفهوم الخاطئ السائد منذ زمن طويل بين غالبية الماركسيين العاملين في مجال الإحصاءات الاقتصادية، بأن تصريحات ماركس حول العمليات العشوائية تنطبق فقط على الاقتصاد الرأسمالي، وهو مفهوم خاطئ يقوم على التمثيل غير الديالكتي للعرضي والضروري باعتبارهما نقيضين متبادلين (**)، فإن تصريحات ماركس هذه ــ في تفسير جديد بالتأكيد ــ لها أهمية هائلة بالنسبة للاقتصاد الاشتراكي المخطط، حيث لا يتوقف قانون الأعداد الكبيرة عن العمل لأنه اقتصاد سلعي.
لا شك أن كتاب هيجل " علم المنطق" ، وخاصة القسم الثاني من الكتاب الأول "الكم"، كان حافزًا فلسفيًا للدراسات الرياضية التي أجراها ماركس. وفي هذا الصدد، يستشهد المقال "هيجل والرياضيات"، الذي كتبه المؤلف الحالي بالاشتراك مع س. أ. يانوفسكايا، بكلمات إنجلز التالية:
"لا يسعني إلا أن أعلق على ملاحظاتك بشأن موضوع الشيخ هيجل، التي لا تنسب إليه تعليمًا رياضيًا وعلميًا عميقًا. لقد كان هيجل يعرف الكثير من الرياضيات لدرجة أن أحدًا من طلابه لم يكن قادرًا على نشر المخطوطات الرياضية العديدة التي تركها بعد وفاته. الشخص الوحيد، على حد علمي، الذي لديه المعرفة الكافية بالرياضيات والفلسفة للقيام بهذه المهمة - هو ماركس." †4
في "الدفاتر الفلسفية" انتقد لينين ‡2 تصريحات هيجل حول حساب الكميات الصغيرة للغاية الواردة في فصل "الكم"، على وجه التحديد، أن "... التبرير [لإهمال الكميات الصغيرة للغاية من الدرجة الأعلى – [EK] ] يتلخص فقط في صحة النتائج ("الموضحة على أسس أخرى") ... وليس في وضوح الموضوع ..."، وأن "... عدم الدقة (الواعية) معينة يتم تجاهلها، ومع ذلك فإن النتيجة التي تم الحصول عليها ليست تقريبية ولكنها دقيقة تمامًا "، وأنه "على الرغم من ذلك، فإن المطالبة بالتبرير - ترجمة .] هنا "ليست زائدة عن الحاجة" "مثل المطالبة في حالة الأنف بإثبات الحق في استخدامه". ** أدلى لينين بالملاحظات التالية: "إجابة هيجل معقدة، مجردة ، إلخ. إلخ. إنها مسألة رياضيات عليا ..." "الدراسة مفصلة للغاية لحساب التفاضل والتكامل، مع اقتباسات - نيوتن، لاغرانج، كارنو، أويلر، لايبنتز، إلخ، إلخ، - تُظهر مدى اهتمام هيجل بهذا "الاختفاء" للمقادير الصغيرة للغاية، هذا "الوسيط بين الوجود والعدم". بدون دراسة الرياضيات العليا، كل هذا غير مفهوم. السمة المميزة هي عنوان كارنو : "انعكاسات على ميتافيزيقا حساب اللامتناهي الصغر" !!!"
ومن الثابت أن ماركس، الذي كتب في عام 1873:
"إن الغموض الذي عانى منه الديالكتيك على يد هيجل لا يحجب الحقيقة التي مفادها أن هيجل كان أول من قدم تمثيلاً شاملاً واعياً لأشكال حركتها العامة. ومن الضروري أن نوقفها على قدميها، من أجل الكشف عن النواة العقلانية الكامنة وراء قوقعة الغموض." *8
وبعد أن طبق ماركس منهجه المادي الجدلي الذي لم يكن، على حد تعبيره، "مختلفاً جوهرياً عن المنهج الهيجلي فحسب، بل كان نقيضه المباشر"، بما أن "المثل الأعلى بالنسبة لماركس ليس إلا المادة، التي يدركها العقل البشري ويتحول داخله"، †5 كان يميل بشدة إلى محاولة اكتشاف السر الذي يبدو أنه يكمن في أساس حساب التفاضل والتكامل.
كانت دراسات ماركس في الرياضيات معروفة من مراسلاته مع إنجلز، وخاصة رسائل ماركس إلى إنجلز بتاريخ 11 يناير 1858، و20 مايو 1865، و6 يوليو 1863، و25 أغسطس 1879، ورسائل إنجلز إلى ماركس بتاريخ 18 أغسطس 1881 و21 نوفمبر 1882، وإجابة ماركس بتاريخ 22 نوفمبر 1882. ويمكن أيضًا تقييمها من خلال المراجع في مقدمة إنجلز للمجلد الثاني من رأس المال ، وتعليقات إنجلز في كتابه ضد دوهرينغ ، وفي مخطوطته غير المكتملة، جدليات الطبيعة ، التي نُشرت لأول مرة في عام 1925 في موسكو في الكتاب الثاني من أرشيفات ماركس وإنجلز [باللغة الروسية] . لقد تأسس معهد كارل ماركس-فريدريك إنجلز عام 1920، تنفيذاً لتعليمات لينين في رسالته بتاريخ 2 فبراير 1921 ‡3 بشراء مخطوطات ماركس وإنجلز الموجودة في الخارج (أو نسخ مصورة منها)، وقد تم الحصول على عدد كبير منها، بما في ذلك النسخ المصورة من مخطوطات ماركس الرياضية المحفوظة في أرشيف الحزب الديمقراطي الاجتماعي الألماني - 863 صفحة مكتوبة بدقة، غير مكتملة على ما يبدو؛ ومع ذلك، تمت إضافة الصفحات المفقودة في وقت لاحق، بحيث وصلت المجموعة بأكملها إلى ألف صفحة. للعمل عليها، كلف المعهد عالم الرياضيات الألماني إي. جومبل، الذي ساعده ر. ماتيكا و ر. س. بوغدان في فك رموز النص الصعب للغاية.
في عام 1927 نشر جامبل تقريرًا في Letopisi Marksizma [قضايا ماركسية] عن المخطوطات، *9 حيث قدم وصفًا موجزًا لها. وقد صنف المخطوطات إلى فئات: حسابات بدون أي نص على الإطلاق؛ ومقتطفات من أعمال قرأها ماركس؛ وخطوط عريضة لأعماله الخاصة؛ وأخيرًا، أعمال أصلية مكتملة.
أشار جامبل بشكل صحيح إلى أن اختيار ماركس للمصادر بدا متأثرًا بهيجل، وقد قدم قائمة (بعيدة عن الاكتمال) للأعمال الرياضية التي لخصها ماركس: 13 مؤلفًا و18 عنوانًا. من بين هذه الأعمال، كان أقدمها في الوقت هو Philosophiae Naturalis Principia Mathematica لنيوتن، 1687، وأحدثها، الكتب المدرسية لـ TJ Hall و JW Hemmings، 1852. كما تضمنت الأعمال الكلاسيكية لـ d Alembert و Landen و Lagrange و MacLaurin و Taylor وعملين آخرين لنيوتن، De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas و Analysis per Quantitatum Series، Fluxiones et Differentias .
وأشار جامبل إلى أن محتويات المخطوطات تتناول الحساب (على سبيل المثال، تأثير الخصم على سعر الصرف، وسداد الكمبيالة، والخصومات والتخفيضات، ورفع القوة واستخراج جذر المعادلة، وتمارين أخذ اللوغاريتم، وما إلى ذلك)، والهندسة (علم المثلثات، والهندسة التحليلية، والمقاطع المخروطية)، والجبر (النظرية الأولية للمعادلات، والمتسلسلات اللانهائية، ومفهوم الدالة، وقاعدة كاردان، والمتواليات، وطريقة المعاملات غير المحددة)، وحساب التفاضل (التفاضل، والحد الأقصى والحد الأدنى، ونظرية تايلر). وذكر أن الأعمال الأصلية التي أكملها ماركس ستُنشر في المجلد السادس عشر للطبعة الروسية منالأعمال الكاملة لماركس وإنجلز.
في عام 1931، ومع تعيين الناشط المعروف في الحزب البلشفي ف. ف. أدوراتسكي مديراً للمعهد، تم إعطاء العمل على المخطوطات اتجاهاً جديداً. وبصفتي رئيساً لمركز دراسات ماركس في ذلك الوقت، فقد كنت على دراية بالجزء المنقول من المخطوطات وبالعمل التحضيري الجاري لنشرها، وكنت مقتنعاً بأن إ. جامبل لم يتمكن من تقدير أهمية نشرها أو أهميتها الفلسفية والتاريخية والرياضية بشكل كامل. وبناءً على اقتراحي، فقد جند مجلس إدارة المعهد للعمل على المخطوطات س. أ. يانوفسكايا، على رأس فريق انضم إليه علماء الرياضيات د. أ. رايكوف و أ. أ. ناخيموفسكايا.
في لندن عام 1931 ، انعقد المؤتمر الدولي الثاني لتاريخ العلوم والتكنولوجيا، وشارك فيه وفد سوفييتي ضم في عضويته مؤلف هذه السطور. وقد صدرت أوراق وفدنا في كتاب منفصل بعنوان " العلم عند مفترق الطرق" . *10 ومن بين الأوراق المدرجة كانت أوراقي بعنوان: "تقرير موجز عن الأعمال غير المنشورة لكارل ماركس المتعلقة بالرياضيات والعلوم الطبيعية والتكنولوجيا وتاريخها". ناقش هذا التقرير: أولاً، المقاطع من 27 عملاً في العلوم الطبيعية نسخها ماركس وزودها بتعليقات: في الميكانيكا والفيزياء والكيمياء والجيولوجيا والأحياء، فضلاً عن التكنولوجيا الكهربائية والمعادن والكيمياء الزراعية وغيرها؛ ثانياً، أعماله في التكنولوجيا (التي يرجع تاريخها أساساً إلى عام 1863)، والتي تتناول تاريخ المطاحن، وتاريخ الأنوال، ومشكلة الإنتاج الآلي في المصانع الميكانيكية، والتطور من الأدوات إلى الآلات ومن الآلات إلى المصانع الميكانيكية، وتأثير الميكنة وعقلنة الإنتاج على تطور صناعة النسيج في إنجلترا وعلى وضع البروليتاريا في الفترة 1815-1863، والتغيرات في النظام الاجتماعي للإنتاج في مراحل مختلفة من التطور التكنولوجي، والتفاعل بين العمل والعلم، وبين المدينة والريف، وما إلى ذلك؛ وثالثاً - مخطوطات ماركس الرياضية.
وفي زيوريخ عام 1932 انعقد مؤتمر دولي لعلماء الرياضيات شارك فيه وفد سوفييتي. وفي قسم "الفلسفة والتاريخ" من المؤتمر أعددت تقريراً بعنوان "أساس جديد لحساب التفاضل والتكامل لكارل ماركس" †6 ، والذي ناقش أحد الأعمال الواردة في مخطوطات ماركس. وكان التقرير ذا أهمية كبيرة، سواء بالنسبة لتاريخ الرياضيات أو بالنسبة لأولئك الذين يتعاملون مع المشاكل الفلسفية التي يواجهها العامل العلمي، لأنه يحتوي على رسم تخطيطي للتطور التاريخي لمفهوم التفاضل وبيان لوجهة نظر ماركس بشأن أسس التحليل. هذا العمل هو من الفئة الثالثة من المخطوطات، ويتكون من خمسة فصول: 1. المشتقة ومعامل التفاضل [ما يسمى في ذلك الوقت بالنسبة، dy/dx ، 2. التفاضل وحساب التفاضل، 3. التطور التاريخي لحساب التفاضل، 4. نظرية تايلر وماكلورين، 5. نقد طريقة نيوتن للتربيع.
يحتوي الجزء الأول من الفصل الثالث، والذي يشكل نواة العمل بأكمله، على وصف موجز لأساليب نيوتن، ولايبنتز، ودالمبير، ولاغرانج. يتكون الجزء الثاني، الذي يلخص الجزء الأول، من ثلاثة أقسام بالمحتويات التالية: 1. حساب التفاضل الصوفي، 2. حساب التفاضل العقلاني، 3. حساب التفاضل الجبري المحض. في جزء آخر، يقارن ماركس بين طريقته التفاضلية وأساليب دالمبير ولاغرانج. تختلف طريقته عن طريقة لاغرانج لأن ماركس يميز حقًا، وبفضل ذلك تظهر الرموز التفاضلية ، بينما يطبق لاغرانج التفاضل على التوسع الثنائي الجبري.
من الواضح من كلا المقطعين أن ماركس، مثل هيجل، اعتبر أن كل الجهود المبذولة لتوفير أساس منطقي شكلي بحت للتحليل ميئوسًا منه، تمامًا، كما كانت المحاولات لإعطاء أساس بديهي بصري بحت، بدءًا من الطريقة الرسومية، ساذجة. لقد وضع على نفسه مهمة توفير أساس للتحليل جدليًا، معتمدًا على وحدة الجوانب التاريخية والمنطقية.
لقد أثبت ماركس أن حساب التفاضل والتكامل الجديد قد نشأ من الرياضيات الأولية، على أساسه الخاص، "كنوع محدد من الحساب الذي يعمل بالفعل بشكل مستقل على أساسه الخاص"، وأن "الطريقة الجبرية تنقلب بالتالي إلى نقيضها تمامًا، الطريقة التفاضلية". (انظر الصفحة 21 في هذه الطبعة). لقد قدر ماركس تقديرًا كبيرًا عمل لاغرانج، لكنه لم يعتبره ـ كما كان يُنظَر إليه عادةً وكما اعتبره هيجل ـ شكليًا وتقليديًا أدخل المفاهيم الأساسية للتحليل إلى الرياضيات بطريقة سطحية ومشتقة بحتة. لقد قدر ماركس العكس تمامًا في لاغرانج، أي أنه كشف عن الصلة بين الجبر والتحليل، وأنه أظهر كيف يتطور التحليل من الجبر. "إن الصلة الحقيقية والأبسط بالتالي بين الجديد والقديم يتم اكتشافها بمجرد أن يصل هذا الجديد إلى شكله الكامل، ويمكن للمرء أن يقول إن حساب التفاضل اكتسب هذه العلاقة من خلال نظريات تايلر وماكلورين". (انظر الصفحة 113)
ولكن ماركس كان يلوم لاغرانج في الوقت نفسه على عدم إدراكه للطابع الديالكتي لهذا التطور، وعلى تمسكه لفترة طويلة بمجال الجبر، وعلى عدم تقديره الكافي للقوانين العامة والأساليب المناسبة للتحليل، بحيث "لا ينبغي استخدامه في هذا الصدد إلا كنقطة انطلاق" (انظر يانوفسكايا، 1968، ص 417). وهكذا رفض ماركس، كجدلي أصيل، الاختزال التحليلي المحض للجديد في القديم الذي يميز منهجية المادية الميكانيكية في القرن الثامن عشر، والإدخال التركيبي المحض للجديد من الخارج الذي يميز هيجل.
كما ظهرت تقارير ومقالات تتعلق بمخطوطات ماركس الرياضية في عام 1932 في مجلات Za Marksistsko-Leninskoe Estestvoznanie و Vestnik Kommunisticheskoe Akademii و Front Nauki I Tekhniki . *11 كان هناك قدر كبير من الاهتمام بالمخطوطات بين الجمهور المتعلم السوفييتي، وكذلك الأجانب. ومع ذلك، في عام 1933 فقط، †7 ، أصبح من الممكن، نتيجة لعمل فريق العلماء المذكورين أعلاه، نشر المقتطفات الأولى من المخطوطات، في مجلة Pod Znamenem Marksizma وفي نفس الوقت في مجموعة Marksizm I Estestvzoznanie، التي أصدرها معهد ماركس-إنجلز في الذكرى الخمسين الخمسين ماركس. في كلا المنشورين، كانت المقتطفات من المخطوطات مصحوبة بمقال "حول المخطوطات الرياضية لك. ماركس" ‡4 بقلم قائدة الفريق صوفيا يانوفسكايا. المقتطفات المنشورة هي ثلاثة أعمال لماركس يرجع تاريخها إلى [18] سبعينات القرن التاسع عشر وبداية [18] ثمانينيات القرن العشرين. أنهى ماركس تمامًا وأعد لإرسال أول عملين إلى إنجلز - "المشتق والمعامل التفاضلي الرمزي" و "التفاضل والتكامل التفاضلي". العمل الثالث، "مخطط تاريخي"، هو مسودة غير مكتملة. من الأخير، والذي يتضمن الأقسام: 1. حساب التفاضل الصوفي (أي نيوتن ولايبنتز)، 2. حساب التفاضل العقلاني (أي دالامبيرت) و 3. حساب التفاضل الجبري البحت (أي لاغرانج)؛ نقدم هنا في ترجمة الفريق القسم الأول، من أجل تعريف القارئ بشرح ماركس. (ص 91-92).
1. حساب التفاضل الصوفي. يتغير x 1 = x + Δx من البداية إلى x 1 = x + dx أو x + x. [يستخدم ماركس كل من الرمز dx الخاص بلايبنتز و x. الخاص بنيوتن – [EK] حيث يُفترض dx من خلال التفسير الميتافيزيقي . أولاً يوجد، ثم يتم تفسيره. ومع ذلك، فإن y 1 = y + dy أو y 1 = y + y. . ومن هذا الافتراض التعسفي تترتب على ذلك أنه في توسع ثنائي الحدين x + Δx أو x + x. ، يجب التلاعب بالمصطلحات في x. و Δx التي تم الحصول عليها بالإضافة إلى المشتقة الأولى، على سبيل المثال، من أجل الحصول على النتيجة الصحيحة، إلخ. إلخ. ونظرًا لأن الأساس الحقيقي لحساب التفاضل ينبع من هذه النتيجة الأخيرة، أي من التفاضلات التي تتنبأ ولا يتم اشتقاقها ولكن بدلاً من ذلك يتم افتراضها من خلال التفسير، فإن dy/dx أو y./x. ، وكذلك معامل التفاضل الرمزي، متوقع من خلال هذا التفسير.
"إذا كانت الزيادة في x = Δx وزيادة المتغير التابع لها = Δy ، فمن الواضح ( versteht sich von selbst ) أن Δy/Δx تمثل نسبة الزيادة في x و y . وهذا يعني، مع ذلك، أن Δx تظهر في المقام، أي أن الزيادة في المتغير المستقل تكون في المقام بدلاً من البسط، وليس العكس؛ في حين أن النتيجة النهائية لتطور الشكل التفاضلي، أي التفاضل ، تُعطى أيضًا في البداية من خلال التفاضلات المفترضة.*
"إذا افترضت أبسط نسبة ممكنة ( بشكل معقول ) للمتغير التابع y إلى المتغير المستقل x ، فإن y = x . إذن أعلم أن dy = dx أو y= x. وبما أنني أبحث عن المشتق للمتغير المستقل x ، والذي هنا = x. ، فيجب عليّ بالتالي قسمة كلا الطرفين على x. أو dx ؛ بحيث:
dy/dx أو y./x. = 1
"لذلك أعلم مرة واحدة وإلى الأبد أنه في معامل التفاضل الرمزي يجب وضع الزيادة [للمتغير المستقل] في المقام وليس في البسط.
"ومع ذلك، بدءًا من وظائف x في الدرجة الثانية، يتم إيجاد المشتقة على الفور عن طريق نظرية ذات الحدين [التي توفر توسعًا] حيث تظهر جاهزة ( fix und fertig ) في الحد الثاني مقترنًا بـ dx أو x. ؛ أي بزيادة الدرجة الأولى + الحدود التي يجب التخلص منها. ومع ذلك، فإن الخداع (Eskamotage) صحيح رياضيًا عن غير قصد، لأنه يزيل فقط أخطاء الحساب الناشئة عن الخداع الأصلي في البداية.
x 1 = x + Δx يجب تغييره إلى
x 1 ` = x + dx أو x + x.
ومن ثم يمكن التعامل مع هذا الحدين التفاضليين كما يتم التعامل مع الحدين المعتادين، وهو ما سيكون مناسبًا للغاية من الناحية الفنية.
"السؤال الوحيد الذي لا يزال من الممكن طرحه هو: لماذا هذا الإخفاء الغامض للمصطلحات التي تقف في الطريق؟ إن هذا يفترض على وجه التحديد أننا نعلم أنها تقف في الطريق ولا تنتمي حقًا إلى المشتق.
" الإجابة بسيطة للغاية: يتم اكتشاف ذلك بالتجربة فقط. لم تكن المشتقات الحقيقية معروفة منذ فترة طويلة فحسب، سواء بالنسبة للعديد من الدوال الأكثر تعقيدًا لـ x أو لأشكالها التحليلية كمعادلات للمنحنيات، إلخ، بل تم اكتشافها أيضًا من خلال التجربة الأكثر حسمًا الممكنة، أي من خلال معالجة أبسط دالة جبرية من الدرجة الثانية، على سبيل المثال:
y = x²
y + dy = (x + dx)² = x² + 2xdx + dx² ,
y + y. = (x + x.)² + x² + 2xx. + x.² .
إذا ما طرحنا الدالة الأصلية x²(y = x²) من كلا الطرفين، فإن:
dy = 2xdx + dx²
y. = 2xx. + x.x.
أحذف القيم الأخيرة من جانبي اليمين كليهما، فأحصل على:
dy = 2xdx, y. = 2xx. ,
ومن بعدها
dy/dx = 2x ,
أو
y./x. = 2x .
"نحن نعلم، مع ذلك، أن الحد الأول من (x + a)² هو x² ؛ والحد الثاني 2xa ؛ إذا قسمت هذا التعبير على a ، كما هو الحال أعلاه 2xdx على dx أو 2xx. من خلال x. ، نحصل بعد ذلك على 2x كمشتقة أولى لـ x² ، أي الزيادة في x ، التي أضافها الحدان إلى x² . لذلك كان لابد من حذف dx² أو xx من أجل إيجاد المشتقة؛ مع إهمال حقيقة أنه لا يمكن لأي شيء أن يبدأ بـ dx² أو xx في حد ذاته.
"في الطريقة التجريبية، إذن، نصل - في الخطوة الثانية مباشرة - بالضرورة إلى الرؤية القائلة بأن dx² أو xx يجب التلاعب بهما، ليس فقط للحصول على النتيجة الحقيقية، بل والحصول على أي نتيجة على الإطلاق.
"ثانياً، ومع ذلك، كان لدينا في
2xdx + dx² أو 2xx. +xx
التعبير الرياضي الصحيح (الحد الثاني والثالث) للثنائي (x + dx)² أو ( x + x.)² . لم يكن معروفًا أن هذه النتيجة الصحيحة رياضيًا تعتمد على افتراض خاطئ رياضيًا في الأساس بأن x 1 - x = Δx من البداية x 1 - x = dx أو x.
"بعبارة أخرى، بدلاً من استخدام الخفة اليدوية، تم الحصول على نفس النتيجة عن طريق عملية جبرية من أبسط الأنواع وتقديمها للعالم الرياضي.
"لذلك، كان علماء الرياضيات ( الإنسان ... نفسه ) يؤمنون حقًا بالطابع الغامض لوسائل الحساب المكتشفة حديثًا والتي أدت إلى نتائج صحيحة (ومدهشة بشكل خاص في التطبيق الهندسي) عن طريق إجراء رياضي خاطئ بشكل إيجابي. وبهذه الطريقة أصبحوا هم أنفسهم في حيرة من أمرهم، وقيموا الاكتشاف الجديد بشكل أعلى، وأثاروا غضب حشد علماء الرياضيات الأرثوذكس القدامى بشكل أكبر، وأثاروا صرخات العداء التي تردد صداها حتى في عالم غير المتخصصين والتي كانت ضرورية لإضاءة هذا المسار الجديد."
وبطريقة مماثلة، قام ماركس بتحليل نقدي لكل من طريقة دالمبير وطريقة لاغرانج، وكما ذكرنا سابقًا، عارض كل الطرق الثلاث بطريقته الخاصة. وتتألف هذه الطريقة من تكوين "المشتقة الأولية" أولاً، حيث y = f(x) ،
φ(x 1 , x) = (f(x 1 ) - f(x))/(x 1 - x)
والتي يُفترض أنها متصلة عند x 1 - x وقيمتها عند x 1 = x تساوي f (x) , وفي حالة دالة القوة y = x n ، يتم تحويل النسبة (x 1 n - x n )/(x 1 - x) إلى كثيرة الحدود x 1 n-1 + xx 1 n-2 + ... + x n-2 x 1 + x n-1 ، والتي بالنسبة لـ x 1 = تعطي f (x) = nx n-1 . ثم يقدم ماركس التمثيل الرمزي لهذه العملية، حيث يتم تقليل "المشتق الأولي" Δy/Δx إلى f (x) = dy/dx ، حيث يكون لمعامل التفاضل الرمزي dy/dx معنى مباشر فقط كوحدة (وليس ككميتين جزئيتين dy و dx ). ومع ذلك، يلاحظ ماركس، بما أن المساواة
(*)dy = f’(x)dx
صحيحة رياضيا ولا تقتصر على التكرار:
0 = 0
فهي إذن صيغة فعّالة، قابلة للتطبيق على الدوال المعقدة، مما يجعل من الممكن اختزال التمايز الكامل للوظائف المكونة لها. بهذه الطريقة، يشير ماركس، نحصل على العكس الديالكتي للطريقة: ننتقل الآن ليس فقط من العملية الرياضية الحقيقية لتكوين المشتق إلى تعبيره الرمزي، بل على العكس من ذلك، بالعمل على الصيغة الرمزية (*) وتشكيل النسبة dy / dx نصل إلى تعبير مشتق الدالة. وبالتالي، بعد أن اكتشف ماركس ليس فقط أن التفاضل هو الجزء الخطي الرئيسي من الزيادة ولكنه أيضًا رمز فعّال، سار على طول مسار نسميه اليوم خوارزميًا ، بمعنى أنه يتكون من البحث عن تعليمات دقيقة للحل، عن طريق عدد محدود من الخطوات، لفئة معينة من المسائل. لقد وقف ماركس على مسار كان هو المسار الأساسي لتطور الرياضيات لاحقاً. وبفضل المنهج المادي الديالكتي الذي كان بين يديه أداة بحث قوية وفعالة، تمكن ماركس، دون أن يكون عالم رياضيات، من الكشف عن خاصية التفاضل المستخدم كرمز عملي، وبالتالي توقع، كما أظهر عالم الرياضيات السوفييتي في. جليفنكو، فكرة عالم الرياضيات الفرنسي البارز ج. هادامارد، التي أعلنها في عام 1911 فيما يتصل بتطبيق مفهوم التحليل الوظيفي هذا. *12
وعلى الرغم من الأهمية الفلسفية والتاريخية لأساس حساب التفاضل الذي قدمه ماركس، إلا أنه لم يدخل في الرياضيات، التي طورت مسارًا آخر غير معروف له. والمصادر التي درسها (وكان عددها أكبر بكثير مما ذكره جامبل في مقاله، والذي لم يذكر حتى كتب التحليل، مثل كتب ج. ل. بوشارلا وج. هند، التي وصفها ماركس بالتفصيل) لم تذكر أعمال أ. كوشي ( Cours d analyse and Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal ) التي طور فيها في الفترة 1821-1823 نظرية الحدود، وهي النظرية التي، على الرغم من أنها كانت تحتوي على أوجه قصور أوضحها لاحقًا ك. فايرستراس (1880)، إلا أنها تضمنت قدرًا كبيرًا من الدقة وجعلت الأساس الذي اقترحه ماركس زائدًا عن الحاجة، على الرغم من أنها لم تقلل من قيمتها التاريخية والفلسفية. لم يكن ماركس يعرف ولم يكن بوسعه أن يعرف أعمال عالم المنطق والرياضيات والفيلسوف البارز في براغ، ب. بولزانو، الذي حدد في عامي 1816 و1817 مفاهيم النهاية، والاستمرارية، وتقارب السلاسل، وغيرها من المفاهيم التي أرست الأساس للتحليل المعاصر، لأن هذه الأعمال، فضلاً عن أعمال أخرى من عامي 1830 و1848، والتي تضمنت بدايات نظرية المجموعات ونظرية الأعداد الحقيقية، ظلت مجهولة لفترة طويلة. وبعد مائة عام فقط أصبحت ملكًا لعلماء الرياضيات. ومن الطبيعي أن ماركس لم يأخذ في الاعتبار، إذن، مشاكل الاستمرارية، وقابلية الدوال للتفاضل، وإضفاء الطابع البديهي على التحليل، وما إلى ذلك.
ولكن قيمة مخطوطات ماركس الرياضية لا تقتصر بأي حال من الأحوال على طريقته التي وفرت الأساس لحساب التفاضل والتكامل ونقده للطرق السابقة. ولم تتبين الأهمية الكاملة للمخطوطات إلا بعد فك رموزها وتنظيمها علمياً. وبدءاً من عام 1932 ومع نشر الأعمال الثلاثة المذكورة من المخطوطات التي تم فك رموزها في عام 1933 (والتي لم يوليها جامبل الاهتمام الذي تستحقه)، بدأ عالم الرياضيات السويدي فيلدهابر العمل لصالح معهد ماركس-إنجلز. واستؤنف العمل على المخطوطات في الخمسينيات، وبعد ذلك بقليل (1960-1962) أصبح ج. ف. ريبكين مهتماً بها كذلك. كل هذا العمل - فك الرموز والترجمة والبحث وتجميع المصادر - تم إجراؤه تحت قيادة س. أ. يانوفسكايا، التي، على الرغم من العبء غير العادي المتمثل في التدريس وإعداد طلاب الدراسات العليا، على الرغم من آلام مرضها، فقد أعطت المشروع كل طاقتها ومعرفتها الهائلة بتاريخ الرياضيات ومشاكلها الفلسفية، وحولته إلى عمل حياتها. تشكل تعليقات س. أ. يانوفسكايا على المخطوطات (سواء تلك المذكورة أعلاه أو تلك الواردة في المجلد الذي أعده معهد الماركسية اللينينية التابع للجنة المركزية للحزب الشيوعي السوفياتي) في حد ذاتها عملاً علميًا مهمًا. كما قام أحد طلابها العديدين، ك. أ. ريبنيكوف، بعمل مهم في إعداد المخطوطات للنشر (على وجه الخصوص، البحث الصعب وتجميع المصادر). وقد تم إعداد المجلد للنشر من قبل المؤرخ أو. كيه. سينيكينا، عضو معهد الماركسية اللينينية، وعالم الرياضيات أ. ز. ريبكين، محرر مطبعة ناوكا.
ونتيجة لهذا العمل الذي دام سنوات عديدة (وقد عملت س. أ. يانوفسكايا على المخطوطات حتى وفاتها في أكتوبر/تشرين الأول 1966)، ظهر الكتاب الذي يحتوي على أفكار ماركس حول سلسلة من أهم المشاكل في تاريخ الرياضيات ككل ومفاهيمها الفردية، فضلاً عن أهميتها المعرفية. وهي أفكار لم تفقد عصرانيتها على الإطلاق، على الرغم من الوتيرة السريعة لتطور الرياضيات في ثمانينيات القرن الماضي ـ بما في ذلك على وجه الخصوص الأساس المنطقي الفلسفي للرياضيات. وبالنسبة لمؤرخي الرياضيات والفلاسفة الذين يعملون على المشاكل الفلسفية للرياضيات، فإن آراء ماركس سوف تكون بمثابة دليل؛ ليس في شكل اقتباس، حيث يتم اتباع كل حرف منه كما لو كان يتم عد حصة طارئة، بل في شكل مثال لا مثيل له على لتطبيق الإبداعي الملموس للتفكير الديالكتي.
إن المخطوطات الرياضية التي كتبها ماركس تؤكد مرة أخرى صحة الكلمات التي قالها إنجلز عند قبر صديقه العظيم. ففي حديثه عن ماركس باعتباره العالم الذي اكتشف قانون تطور التاريخ البشري وقانون حركة الإنتاج الرأسمالي، قال إنجلز: "إن اكتشافين من هذا القبيل يكفيان لحياة كاملة. ويا له من رجل سعيد أن يُمنح فرصة تحقيق اكتشاف واحد من هذا القبيل. ولكن في كل مجال بحث فيه ماركس ـ وقد بحث في العديد من المجالات، ولم يبحث في أي منها بشكل سطحي ـ حقق اكتشافات مستقلة في كل مجال، حتى في مجال الرياضيات" .
________________________________________
1.* ترجمة ك. ماركس الأولى في الرياضيات في (مجلة : مسائل تاريخية في التاريخ الطبيعي والتكنولوجيا)( ،Voprosy istorii estestviznaniya I tekhniki)، 1968، العدد 25، ص 101-112. *2 رأس المال الثابت هو استثمار رأسمالي؛ رأس المال المتغير هو أجور العمل؛ عادة ما تكتب القيمة الزائدة S في النصوص الاقتصادية باللغة الإنجليزية -المترجم. *3 في إعادة الإنتاج البسيطة، يتم استثمار كل القيمة المضافة إلى سلع المنتجين في الآلات لإنتاج سلع المستهلكين –المترجم . † تم فحص أهمية هذه المخططات للتخطيط الاقتصادي الاشتراكي في عمل م. إيبيسلت (ألمانيا الشرقية)، مخطط ماركس لإعادة الإنتاج وتفسير المتغيرات الغامضة ، (باللغة الروسية: الاقتصاد والطرق الرياضية: Ekonomika I matematicheskie metody)، 1968، المجلد الرابع، العدد 4، ص 531-535. *4 أعمال كارل ماركس-فريدريك إنجلز [الطبعة الألمانية]، المجلد 33، برلين، ديتز، 1966، ص 82 . †2 ذكريات ماركس وإنجلز، موسكو [1956]، ص 75. *5 كارل ماركس-فريدريك إنجلزسوشينينيا [الطبعة الروسية]، موسكو، المجلد 32، ص 33 . †3 ذكريات ماركس وإنجلز، ص 325. ‡ كارل ماركس، نظريات فائض القيمة: المجلد الرابع من رأس المال، الجزء الثالث، كوهين وريازانسكايا، ترجمة لندن، لورانس وويشارت، 1972، ص 143. لاحظ المحرران ريازانسكايا وديكسون أن "ماركس كتب هذه الفقرة باللغة الإنجليزية" . *6 كارل ماركس، غروندريسه: أسس نقد الاقتصاد السياسي، ترجمة م. نيكولاوس، كتب بنغوين، لندن، ص 137. *7 هذه الطبعة ص 235 †4 خاتمة الطبعة الألمانية الثانية لـ رأس المال ‡2. في. إي. لينين، الأعمال الكاملة، المجلد 38، موسكو، دار النشر باللغات الأجنبية، 1963، ص 117-118. ** ملاحظة مقدمة من محرر نص لينين: "إشارة إلى بيت "مسألة الحق" من قصيدة شيلر الساخرة "الفلاسفة"، والتي يمكن ترجمتها على النحو التالي: "لقد استخدمت أنفي لفترة طويلة لحاسة الشم"، "في الواقع، ما هو الحق الذي أملكه في هذا، من فضلك؟" *8 كارل ماركس - فريدريك إنجلز، سوشينينيا، المجلد 23، ص 22 . †5 المصدر نفسه. ‡3 لينينسكي سبورنيك، موسكو، 1942، المجلد. 34، ص 401-402 . *9 إي. جامبل، "حول المخطوطات الرياضية لك. ماركس"، (بالروسية Letopisi Marksizma) [قضايا ماركسية]، موسكو، 1927، المجلد 3، ص 56-60 . *10 العلم عند مفترق الطرق.